Guia para resolver ecuaciones no lineales

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

En el campo de la ingeniería es muy común encontrar sistema de ecuaciones lineales en donde se involucran variables desconocidas que fundamentalmente definen el problema a resolver; también participan matrices, así como su matriz inversa y su determinante
Un sistema de m ecuaciones lineales y n incógnitas tiene la forma general
a_11 x_1+a_12 x_2+〖……+a〗_1n x_(n )= b_1
a_21 x_1+a_22 x_2+〖… …+a〗_2n x_(n )= b_2 … (1)
………………………………………………………………
a_m1 x_1+a_m2 x_2+〖… …+a〗_mn x_(n )= b_m
Con la notación matricial se puede escribir La ecuación anterior como

A=[■(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@...&...&…&…@…&…&…&…@a_m1&a_m2&…&a_mn )] , X=[■(x_1@x_2@..@..@x_n )] y B=[■(b_1@b_2@..@..@b_n )]Donde A es llamada matriz de coeficientes, X matriz de las incógnitas y B matriz de los términos independientes del sistema (1). En forma compacta este sistema se puede representar como
AX=B
1.1 Existencia y unicidad de soluciones
Si B es el vector cero, la ecuación (1) es un sistema homogéneo. Si por el contrario ,B≠0, el sistema es no homogéneo. A continuación se define la matrizaumentada A ̅, formando con los elementos de la matriz de coeficientes A y los del vector B de la siguiente manera:
A ̅=[■(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@...&...&…&…@…&…&…&…@a_m1&a_m2&…&a_mn )■(├ ┤|@├ ┤|@├ ┤|@├ ┤|@├ ┤| )■(b_1@b_2@..@..@b_n )]= [├ A┤|B]

Si el rango de la matriz de coeficiente A y de la matriz aumentada A ̅ son iguales, se dice que el sistema es consistente. si no ocurreesto, el sistema es inconsistente (por tanto, un sistema homogéneo siempre es consistente). Un sistema inconsistente no tiene solución, mientras que uno consistente tiene una solución única o un número infinito de soluciones, según sea el rango de A en comparación con el número de incógnitas n.
Si el rango de A = n, la solución es única
Si el rango de A> A=[3 5; 2 4]
>> rangoA=rank(A)>> A ̅=[3 5 7;2 3 9]
>> rangoA ̅=rank(A ̅)
Se obtiene rangoA =2, rangoB=2; como rangoA = rangoB , El sistema es consistente y tiene solución única (Rango de A =n).
Ejemplo 2. Sea el sistema
■(x_1&-2x_2&+x_3&-4x_4=1@x_1&+3x_2&+7x_3&+2x_4=2@x_1&-12x_2&-11x_3&-16x_4=5)

La matriz aumentada es
A ̅=[■(1&-2&1&-4&├ ┤|1@1&3&7&2&├ ┤|2@1&-12&-11&-16&├ ┤|5)]
>> A=[1 -2 1 - 4;1 3 7 2;1 -12-11 -16]
>>rangoA=rank(A)
>>A ̅=[1 -2 1 4 1;1 3 7 2 2; 1 -12 -11 -16 5]
>>rangoA ̅=rank(A ̅)
Se obtiene rangoA =2, rangoB=3; como rangoA ≠ rangoB , El sistema es Inconsistente, por lo que carece de solución.
2. Métodos utilizados en la solución de ecuaciones lineales
Existen varios métodos para solucionar ecuaciones lineales entre ellos tenemos:
Método gráfico
Regla deCramer
Eliminación de Gauss (con pivote parcial)
Descomposición LU
Método de Gauss-Seidel
El más utilizado es el método de Gauss-Seidel, es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, ennotación matricial.
METODO DE GAUSS - JORDAN
Este método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos en las operaciones aritméticas de la computadora. Este procedimiento se distingue del método Gaussiano en que cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes,es decir, las que preceden a la ecuación pivote así como de las que la siguen.
El método se ilustra mejor con un ejemplo. Resolvamos el siguiente conjunto de ecuaciones

3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.8500
0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = - 19.3
0.3 X1 - 0.2 X2 + 10 X3 = 71.4000

Primero expresemos los coeficientes y el vector de términos independientes como una matriz aumentada....