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Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación

ECUACIO
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES NO LINEALES
Profesor: Jaime Álvarez Maldonado
Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre

Ejercicios:

1) Sea la ecuación ‫ ݔ‬ൌ ݃ሺ‫ ,)ݔ‬donde g satisface |݃ᇱ ሺ‫ |)ݔ‬൑ ‫ ܮ‬൑ 1 ‫ א ݔ ,ݔ׊‬ሾܽ, ܾሿ.
a) Probar que también se cumple |݃ሺ‫ݔ‬ଵ ) െ ݃ሺ‫ݔ‬ଶ)| ൏ ‫ݔ|ܮ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ | ‫ݔ׊‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ ‫ א‬ሾܽ, ܾሿ.
b) Demostrar que si se cumple la condición en ሺa), la ecuación ‫ ݔ‬ൌ ݃ሺ‫ ,)ݔ‬tiene a
lo mas, una solución en el intervalo ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ ሿ.

Sol:

Se tiene que ‫ ݔ‬ൌ ݃ሺ‫ )ݔ‬ሺ‫ ,)݋݆݂݅ ݋ݐ݊ݑ݌ ݁݀ ݈ܾܽ݉݁݋ݎ݌‬y que la función gሺx) satisface
la condición de |݃ᇱ ሺ‫ |)ݔ‬൑ ‫ ܮ‬൑ 1 ‫ א ݔ ,ݔ׊‬ሾܽ, ܾሿ.
a) Del problema de punto fijo ‫ ݔ‬ൌ ݃ሺ‫ )ݔ‬se desprende que:‫ݔ‬ଵ ൌ ݃ሺ‫ݔ‬ଵ )
‫ݔ‬ଶ ൌ ݃ሺ‫ݔ‬ଶ )

Si se restan queda: |‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ | ൌ |݃ሺ‫ݔ‬ଵ ) െ ݃ሺ‫ݔ‬ଶ )|

Ocuparemos el T.V.M. ሺTeorema de Valor Medio), el cual está dado por:
݃ᇱ ሺ‫ )ݔ‬ൌ

௚ሺ௫భ )ି௚ሺ௫మ )
௫భ ି௫మ

|‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ ||݃ᇱ ሺ‫ |)ݔ‬ൌ | ݃ሺ‫ݔ‬ଵ ) െ ݃ሺ‫ݔ‬ଶ )|

Se sabe por el enunciado que |݃ᇱ ሺ‫ |)ݔ‬൑ ‫ ,ܮ‬por lo que podemos relacionar la resta entre
2 problemas de punto fijo con el T.V.M.,entonces se tendría que:
| ݃ሺ‫ݔ‬ଵ ) െ ݃ሺ‫ݔ‬ଶ )| ൌ |݃ᇱ ሺ‫ݔ||)ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ | ൑ ‫ݔ|ܮ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ |

Por lo tanto | ݃ሺ‫ݔ‬ଵ ) െ ݃ሺ‫ݔ‬ଶ )| ൑ ‫ݔ|ܮ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ | ‫ݔ׊‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ ‫ א‬ሾܽ, ܾሿ.
Queda probado.

b) Se desea demostrar que ‫ ݔ‬ൌ ݃ሺ‫ )ݔ‬tiene 1 sola solución en ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ ሿ.

Suponiendo que existen en gሺx) 2 puntos fijos ሺo soluciones), entonces:
݃ሺ‫ݔ‬ଵ ) ൌ ‫ݔ‬ଵ
݃ሺ‫ݔ‬ଶ ) ൌ ‫ݔ‬ଶ
Al ser restadosqueda:

|݃ሺ‫ݔ‬ଵ ) െ ݃ሺ‫ݔ‬ଶ )| ൌ |‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ | , ahora aplicamos TVM ሺ|‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ ||݃ᇱ ሺ‫ |)ݔ‬ൌ | ݃ሺ‫ݔ‬ଵ ) െ
݃ሺ‫ݔ‬ଶ )|).

|‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ ||݃ᇱ ሺ‫ |)ݔ‬ൌ |‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ |
que:

, y por el enunciado principal ሺ|݃ᇱ ሺ‫ |)ݔ‬൑ ‫ ,)ܮ‬se tiene

|‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ | ൌ |݃ᇱ ሺ‫ݔ||)ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ | ൑ ‫ݔ|ܮ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ |
|‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ | ൑ ‫ݔ|ܮ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ |

Siendo que L está entre ሾ0,1ሿ, la ecuación anterior resulta ser unacontradicción 
Entonces, se concluye que para gሺx) existe un único punto fijo en el intervalo ሾ‫ݔ‬ଵ , ‫ݔ‬ଶ ሿ,
siempre y cuando se cumpla la condición de que |݃ᇱ ሺ‫ |)ݔ‬൑ ‫ ܮ‬൑ 1 ‫ א ݔ ,ݔ׊‬ሾܽ, ܾሿ.

2) La ecuación 2‫ ݔ‬ସ ൅ 24‫ ݔ‬ଷ ൅ 61‫ ݔ‬ଶ െ 16‫ ݔ‬൅ 1 ൌ 0 tiene dos raíces cerca de 0.1
(0.1213203436; 0.1231056256), encuéntrelas mediante el método de NewtonRaphson.

Sol:

El método de N-R,es el método iterativo que requiere de la función, su derivada y un
punto de inicio, la formula está dada por:
௙(௫ )

‫ݔ‬௡ାଵ ൌ ‫ݔ‬௡ െ ௙ᇲ (௫೙ ) ; nൌ0, 1,2,….

Entonces:

೙

݂(‫ )ݔ‬ൌ 2‫ ݔ‬ସ ൅ 24‫ ݔ‬ଷ ൅ 61‫ ݔ‬ଶ െ 16‫ ݔ‬൅ 1
݂Ԣ(‫ )ݔ‬ൌ 8‫ ݔ‬ଷ ൅ 72‫ ݔ‬ଶ ൅ 122‫ ݔ‬െ 16

Con ‫ݔ‬଴ ൌ 0.1

Al reemplazar los datos, se obtiene:
‫ݔ‬௡ାଵ ൌ ‫ݔ‬௡ െ

2‫ݔ‬௡ ସ ൅ 24‫ݔ‬௡ ଷ ൅ 61‫ݔ‬௡ ଶ െ 16‫ݔ‬௡ ൅ 1
8‫ݔ‬௡ଷ ൅ 72‫ݔ‬௡ ଶ ൅ 122‫ݔ‬௡ െ 16

Entonces las iteraciones son:
‫ ₁ݔ‬ൌ 0.1111328125

‫ ₂ݔ‬ൌ 0.11664780053787
‫ ₃ݔ‬ൌ 0.11936143263559
‫ ₄ݔ‬ൌ 0.12064808476922
‫ ₅ݔ‬ൌ 0.12117604663885
‫ ₆ݔ‬ൌ 0.12131031004941
‫ ₇ݔ‬ൌ 0.12132028783201

‫ ₈ݔ‬ൌ 0.12132034355771

Aproximación a la raíz buscada (0.1213203436)

Ahora buscaremos la otra raíz, tomando como punto de inicio ‫ݔ‬଴ ൌ 0.13
‫ ₁ݔ‬ൌ0.12616290927433
‫ ₂ݔ‬ൌ 0.1242900624559

‫ ₃ݔ‬ൌ 0.12344358909839
‫ ₄ݔ‬ൌ 0.12315206375549
‫ ₅ݔ‬ൌ 0.123106774549

‫ ₆ݔ‬ൌ 0.12310562635671
‫ ₇ݔ‬ൌ 0.1231056256179

Aproximación a la raíz buscada (0.1231056256)

3) Demuestre que al usar el método de Newton-Raphson, para aproximar el reciproco
de un numero S, S>0 se obtiene la formula iterativa ‫ݔ‬௞ାଵ ൌ ‫ݔ‬௞ ሺ2 െ ܵ ‫ݔ כ‬௞ ), ݇ ൌ 0,1 …
ଵCalcular ଵ଻ usando el algoritmo.
Sol:
El algoritmo de N-R, esta dado por ‫ݔ‬௞ାଵ ൌ ‫ݔ‬௞ െ
El reciproco de un número S, es: ‫ ݔ‬ൌ
݂Ԣሺ‫ )ݔ‬ൌ

ଵ
ௌ

ܵൌ

௙ሺ௫ೖ )
௙ ᇲ ሺ௫ೖ )
ଵ

ଵ

݂ሺ‫ )ݔ‬ൌ ܵ െ ൌ 0

௫

௫

1
‫ݔ‬ଶ

Ahora reemplazamos los datos en la ecuación de N-R
భ
ೣೖ
భ
ೣೖ మ

ௌି

‫ݔ‬௞ାଵ ൌ ‫ݔ‬௞ െ

‫ݔ‬௞ାଵ ൌ ‫ݔ‬௞ െ

ሺௌ‫כ‬௫ೖ ିଵ)
௫ೖ

‫כ‬

௫ೖ మ
ଵ

ଶ
ൌ ‫ݔ‬௞ െ ሺܵ ‫ݔ כ‬௞ െ...