Guia_Teorica
Páginas: 44 (10762 palabras)
Publicado: 14 de diciembre de 2015
La Distribución Normal
Los espacios muestrales continuos y las variables aleatorias continuas se presentan siempre que se manejan cantidades que se miden en una escala continua; por ejemplo, cuando se mide la cantidad de alcohol en la sangre de una persona, el peso neto de un paquete de alimento congelado, la velocidad de un automóvil, etc.
En el caso continuo, el lugar de los histogramas lotoman curvas continuas donde podemos imaginar a los histogramas con clases cada vez más estrechas que se aproximan a la curva continua. Entre las muchas curvas de distribución continua que se emplean en estadística, la más importante es la curva normal.
Con frecuencia a la distribución normal se le identifica como la piedra angular de la estadística moderna, esto se debe en parte al papel quedesempeña en el desarrollo de la teoría estadística y en parte al hecho de que es frecuente que distintas variables asociadas a fenómenos naturales y cotidianos siguen, aunque sea de manera aproximada, esta distribución. Por ejemplo, la medición en experimentos científicos, tiempos de reacción en experimentos psicológicos, medidas e indicadores económicos, etc., tienen el mismo patrón general que lasdistribuciones normales. Además, la normal se puede usar para aproximar varias distribuciones de probabilidad discretas y tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran número de situaciones en las que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras.
Definición
Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una distribución normal con parámetros μ y σ (donde -∞ < μ <∞ y 0 < σ), si la función de densidad de probabilidad de X es:
La expresión de que X está normalmente distribuida con los parámetros μ y σ se denota como:
X ~ N (μ , σ).
La gráfica de la distribución normal es:
Características
1. La curva tiene un solo pico, por tanto es unimodal y tiene forma de campana.
2. La media de la población distribuida normalmente cae en el centro de su curvanormal.
3. Los dos extremos de la distribución normal de probabilidad se extienden indefinidamente y nunca tocan el eje horizontal, por lo que existe algo de probabilidad de que la variable aleatoria pueda tomar valores demasiado grandes o muy pequeños, sin embargo, no se pierde mucha precisión al ignorar valores tan alejados de la media. Por lo tanto, a cambio de la conveniencia del uso de estemodelo teórico, se debe aceptar el hecho de que puede asignar valores empíricos imposibles.
4. Debido a la simetría de la distribución normal, la mediana y la moda se encuentran también en el centro; en consecuencia, para una curva normal, la media, la mediana y la moda tienen el mismo valor.
5. Si la distribución de la población de una variable es aproximadamente normal, entonces:
a) Alrededordel 68,27% de los valores están dentro de 1 desviación estándar de la media.
b) Alrededor del 95,45% de los valores están dentro de 2 desviaciones estándar de la media.
c) Alrededor del 99,73% de los valores están dentro de 3 desviaciones estándar de la media.
La función de distribución acumulativa correspondiente está dada por:
Gráficamente:
Observaciones:
- Aunque la mayor parte de laspoblaciones reales no se extienden de manera indefinida en ambas direcciones, la distribución normal es una aproximación conveniente.
- Cabe destacar que no hay una sola distribución normal, sino una familia de curvas normales por lo que para diversos pares (μ,σ) diferentes, tenemos variadas gráficas.
De lo anterior, se puede apreciar que la curva normal puede describir un gran número de poblaciones,diferenciadas solamente por la media, por la desviación estándar o por ambas.
- Para calcular P(a ≤ X ≤ b) cuando X es una variable aleatoria con distribución normal de parámetros μ y σ debemos evaluar:
Sin embargo, ninguna de las técnicas de integración estándar se emplean para evaluar la expresión anterior. En lugar de esto se trabaja con una distribución normal con valores de parámetros...
Los espacios muestrales continuos y las variables aleatorias continuas se presentan siempre que se manejan cantidades que se miden en una escala continua; por ejemplo, cuando se mide la cantidad de alcohol en la sangre de una persona, el peso neto de un paquete de alimento congelado, la velocidad de un automóvil, etc.
En el caso continuo, el lugar de los histogramas lotoman curvas continuas donde podemos imaginar a los histogramas con clases cada vez más estrechas que se aproximan a la curva continua. Entre las muchas curvas de distribución continua que se emplean en estadística, la más importante es la curva normal.
Con frecuencia a la distribución normal se le identifica como la piedra angular de la estadística moderna, esto se debe en parte al papel quedesempeña en el desarrollo de la teoría estadística y en parte al hecho de que es frecuente que distintas variables asociadas a fenómenos naturales y cotidianos siguen, aunque sea de manera aproximada, esta distribución. Por ejemplo, la medición en experimentos científicos, tiempos de reacción en experimentos psicológicos, medidas e indicadores económicos, etc., tienen el mismo patrón general que lasdistribuciones normales. Además, la normal se puede usar para aproximar varias distribuciones de probabilidad discretas y tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran número de situaciones en las que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras.
Definición
Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una distribución normal con parámetros μ y σ (donde -∞ < μ <∞ y 0 < σ), si la función de densidad de probabilidad de X es:
La expresión de que X está normalmente distribuida con los parámetros μ y σ se denota como:
X ~ N (μ , σ).
La gráfica de la distribución normal es:
Características
1. La curva tiene un solo pico, por tanto es unimodal y tiene forma de campana.
2. La media de la población distribuida normalmente cae en el centro de su curvanormal.
3. Los dos extremos de la distribución normal de probabilidad se extienden indefinidamente y nunca tocan el eje horizontal, por lo que existe algo de probabilidad de que la variable aleatoria pueda tomar valores demasiado grandes o muy pequeños, sin embargo, no se pierde mucha precisión al ignorar valores tan alejados de la media. Por lo tanto, a cambio de la conveniencia del uso de estemodelo teórico, se debe aceptar el hecho de que puede asignar valores empíricos imposibles.
4. Debido a la simetría de la distribución normal, la mediana y la moda se encuentran también en el centro; en consecuencia, para una curva normal, la media, la mediana y la moda tienen el mismo valor.
5. Si la distribución de la población de una variable es aproximadamente normal, entonces:
a) Alrededordel 68,27% de los valores están dentro de 1 desviación estándar de la media.
b) Alrededor del 95,45% de los valores están dentro de 2 desviaciones estándar de la media.
c) Alrededor del 99,73% de los valores están dentro de 3 desviaciones estándar de la media.
La función de distribución acumulativa correspondiente está dada por:
Gráficamente:
Observaciones:
- Aunque la mayor parte de laspoblaciones reales no se extienden de manera indefinida en ambas direcciones, la distribución normal es una aproximación conveniente.
- Cabe destacar que no hay una sola distribución normal, sino una familia de curvas normales por lo que para diversos pares (μ,σ) diferentes, tenemos variadas gráficas.
De lo anterior, se puede apreciar que la curva normal puede describir un gran número de poblaciones,diferenciadas solamente por la media, por la desviación estándar o por ambas.
- Para calcular P(a ≤ X ≤ b) cuando X es una variable aleatoria con distribución normal de parámetros μ y σ debemos evaluar:
Sin embargo, ninguna de las técnicas de integración estándar se emplean para evaluar la expresión anterior. En lugar de esto se trabaja con una distribución normal con valores de parámetros...
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