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0.1- Introducción
Para una correcta ubicación sobre el estudio que vamos a iniciar, considero pertinente mostrar algunas teorías acerca de qué es la Lógica y su relación con la matemática; por esta razón quiero citar lo que el profesor Alberto Dou, S.J. recopila al respecto.
“El logicismo es una doctrina sobre los fundamentos de la matemática que considera la lógica como anterior o másfundamental que la matemática y efectúa la reducción de los conceptos y métodos de inferencia matemática a los correspondientes de la lógica, concluyendo consiguientemente que la matemática no es más que una rama de la lógica. Las relaciones que existan entre la matemática y la lógica pueden constituir un aspecto muy importante de una teoría sobre fundamentos. Una primera dificultad para la explicaciónde estas relaciones es que no sabemos con precisión qué es la matemática y aún menos qué es la lógica.
Precisamente nos proponemos explicar qué es la matemática, pero entonces parece que es imprescindible que sepamos previamente qué es la lógica, si hemos de explicar aquella en términos de ésta.
Ahora bien, una definición precisa de la lógica, que la caracterice totalmente, depende del sistemafilosófico que se adopte. Para nuestro fin bastará que demos las definiciones siguientes:
La lógica matemática es una ciencia que es anterior a las demás, que contiene las ideas y los principios en que se basan todas las ciencias.
Esta definición parcial es de K. Gödel (1906) y me parece que es también según la mente de Santo Tomás y análogamente de Aristóteles y de la escolástica medieval.Aunque conviene notar que en Aristóteles y en la escolástica la lógica es generalmente considerada como un arte que como una ciencia; un arte que da la manera de operar válidamente con conceptos y proposiciones, y no como ciencia, porque carece de objetos propios a los que corresponda algo en la naturaleza.
Una definición muy precisa y moderna es la de A. Church (1903).
Lógica es el estudiosistemático de la estructura de las proposiciones y de las condiciones generales de válida inferencia por un método que abstraiga del contenido o materia de las proposiciones y tenga en cuenta solamente su forma lógica. Se distingue entre materia y forma cuando distinguimos entre la legitimidad lógica o validez de un texto razonado y la verdad de las premisas de las cuales se deduce; y en este sentido esfamiliar en el lenguaje ordinario. Sin embargo, es necesario establecer con precisión la distinción con referencia a un
lenguaje particular o sistema de notación, un lenguaje formalizado, el cual evite las inexactitudes y las irregularidades de estructura y expresión que sistemáticamente llevan a equivocaciones y que se encuentran en los lenguajes ordinarios, y el cual siga o reproduzca la formalógica, a costa de la brevedad y facilidad de comunicación cuando sea necesario. De modo que adoptar un lenguaje formalizado particular es adoptar un sistema o teoría particular de análisis lógico. Entonces se puede caracterizar el método formal diciendo que se
trata de la forma objetiva de las sentencias que expresan proposiciones, y suministra en estos concretos términos criterios paradeterminar si las sentencias tienen sentido, criterios de inferencia válida, y de otras nociones estrechamente asociadas a éstas.
Por consiguiente, según el logicismo la matemática es una rama de la lógica, sin duda extensa y con vida propia, pero cuyo método se identifica con el propio método de la lógica. Se concibe así la matemática como una disciplina universal que regiría todas las formas deargumentación.
Una disciplina así fue probablemente pensada por R. Llull (1231-1315) y por J. Caramuel (1606-1682) y ciertamente por R. Descartes (1596-1650). El primero en formularla con cierta precisión parece fue G. Leibniz (1646-1716), quien una vez la definió con estos términos:
Si no hubiese estado reclamado por tantos asuntos, o si hubiese sido más joven o tenido colaboradores jóvenes en...