hay caramba

ECUACIÓN POLAR EN FORMA GENERAL PARA ALGUNAS
CURVAS CARACTERÍSTICAS
A. VELÁSQUEZ MÁRQUEZ; PROFESOR DE CARRERA; velasquez777@yahoo.com.mx
A. S. ROMÁN GARCÍA; PROFESORA DE ASIGNATURA; ayesha_roman@yahoo.com.mx
Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México

RESUMEN
En este trabajo se propone la ecuación rx = A cos (Bθ + C) + D, como una Ecuación Polar en Forma
Generalpara Algunas Curvas Características como son ciertas circunferencias, rosas de n pétalos,
caracoles, cardioides y lemniscatas; además, se presenta un poster con un cuadro resumen, donde
se aprecian los cambios que se presentan cuando cambia el valor de las variables x, A, B, C y D, lo
que permite identificar rápidamente curvas cuya ecuación polar se puede escribir de la forma rx =
A cos (Bθ +C) + D; finalmente, dicho cuadro-resumen se puede extrapolar a curvas cuya ecuación
polar pueda escribirse de la forma rx = A sen (Bθ + C) + D.

INTRODUCCIÓN
En el programa de la asignatura Geometría Analítica que se imparte en la División de
Ciencias Básicas de la Facultad de Ingeniería de la UNAM (FI, UNAM), el segundo
tema es “Curvas en el Plano Polar” en el cual se abordan las ecuacionespolares de
curvas como circunferencias, rosas de n-pétalos, cardioides y lemniscatas, entre otras.
Tales curvas presentan ciertas similitudes, lo cual, generó la inquietud por establecer
una ecuación polar que incluyera todas las curvas antes mencionadas; de esta forma, se
planteó una ecuación polar con base en las semejanzas que existen entre las
correspondientes ecuaciones polares de talescurvas, dicha ecuación contiene ciertos
parámetros que al ir cambiando de valor permite obtener las ecuaciones polares no solo
de las curvas ya mencionadas, sino de otras más.

ANÁLISIS
Durante el semestre 2008-2, surgió la inquietud por encontrar una ecuación polar en
forma general, para diversas circunferencias, caracoles, cardioides, rosas de n-pétalos y
lemniscatas. Para ello, sepropusieron y analizaron diferentes ecuaciones polares
basadas en las coincidencias que presentaban las ecuaciones de las curvas antes
mencionadas, lo que se buscaba era obtener una ecuación polar que contuviese ciertos
parámetros, tales que al modificar sus valores permitiesen pasar de la ecuación de una
curva a otra. La ecuación que brindó mejores resultados fue la siguiente:

donde, lasliterales x, A, B, C y D, son los parámetros que al ir cambiando de valor
permiten obtener las ecuaciones de diferentes curvas características.
Así, si se inicia con una ecuación en donde x=1, B=1, C=0, D=0 y A va cambiando de
valor, se obtienen las gráficas siguientes:

 

Como se puede observar, el valor de A modifica el tamaño de la curva y su posición,
pero no su forma. Si ahora se dejaconstante el valor de A y se modifica el valor de B,
se obtienen las gráficas siguientes:

Como se puede observar, el valor de B modifica el número de pétalos pero no su
tamaño, si el valor de B es impar se tienen B pétalos en la curva, pero si el valor de B es
par se tienen 2B pétalos en la curva. Si ahora se dejan constantes los valores de A y B,
y se modifica el valor de C, se obtienen lasgráficas siguientes:

Como se puede observar, el valor de C hace girar la curva alrededor del polo, C
radianes en sentido dextrógiro (horario), manteniendo su forma y tamaño. Si ahora se
dejan constantes los valores de A, B y C, y se modifica el valor de D, se obtienen las
gráficas siguientes:

Como se puede observar, el valor de D cambia la forma y el tamaño de la curva,
pudiéndoseobtener circunferencias, caracoles, cardiodes o “semillas”.
Si finalmente si se dejan constantes los valores de A, B, C y D, y se modifica el valor
de x, se obtienen las gráficas siguientes:

Como se puede observar, el valor de x cambia la forma de la curva llegándose a obtener
incluso una recta. En las graficas anteriores los valores que se emplearon para los
diferentes parámetros fueron en...