Hector Molina

Respuesta a estado estable y error a estado estable

y (t )

eee (t ) : error de estado estacionario

r (t )
yee (t )

yee + 0.02 yee
yee − 0.02 yee

Ts : tiempo de establecimiento.

Diremos que en un sistema estable existirá la
respuesta a estado estable definida como
yee (t ) = limt →∞ y (t )

En todo sistema estable
y (t ) = ytr (t ) + yee (t )
ytr (t ) : respuestatransitoria
yee (t ) : respuesta a estado estable

Por ejemplo, para un sistema de primer orden
y (t ) = ytr (t ) + yee (t ) = A − Aet /τ
ytr (t ) = Aet /τ
yee (t ) = A

Definimos el error estacionario para un sistema
de control:
eee (t ) = r (t ) − yee (t )
r(t)
+

C
- e(t)

r (t ) : referencia
e(t ) = r (t ) - y (t )
eee (t ) = r (t ) - yee (t )

G

y(t)

Calcularemos larespuesta a estado estable y el
error a estado estable para algunas entradas
típicas:

r (t ) = A

r (t ) = At

t

r (t ) = Asen(t )

t

t

Supongamos que tenemos un sistema estable dado
por:
Y ( s ) β m s + β m−1s m−1 + ... + β 0
T ( s) =
=
(1)
m −1
R( s ) α n s + α n−1s + ... + α 0

Calculemos la respuesta a estado estable cuando
A
r (t ) = A ⇒ R ( s ) =
s
Y ( s) = T(s) R(s)
A
Y ( s) = T ( s)
s

Y ( s) =

β m s + β m−1s m−1 + ... + β 0 A
( s + p1 )( s + p2 )...( s + pn ) s

Expandiendo en fracciones parciales
k1
Y ( s ) = + términos debidos a polos de T(s)
s
Tomando transformada inversa los polos de T
conformarán la respuesta transitoria
y (t ) = k1 + ytr (t)
limt →∞ y (t ) = k1 = yee (t )

Calculamos k1 para obtener
k1 = sY ( s ) s = 0 =sY (0)
A
k1 = sT (0) = T (0) A
s

De donde:
yee (t ) = k1
yee (t ) = T (0) A

Usando la notación para T dada por (1)
β0
y ee ( t ) =
A
α0

Ahora pasamos a calcular el error estacionario de
T ante esta entrada:
eee (t ) = r (t ) − yee (t )

β0
eee (t ) = A −
A
α0
α 0 − β0
eee (t ) = A(
)
α0
Y de aquí definimos el error porcentual de
posición:
eee (t )
α 0 − β0
ep =× 100% =
× 100%
α0
A

Si en la expresión anterior

α 0 = β0
Error cero de posición: la salida
alcanzara perfectamente la entrada una
vez el sistema está en el estado estable

y(t )

eee (t ) = 0

yee (t) = r(t)

Que significará que la salida en estado estable
Alcanzará la referencia. Decimos que un
sistema rastrea sin error el paso.

Ahora supongamos que la entrada es unarampa
A
r (t ) = At ; R( s ) = 2
s
A
Y ( s) = T ( s) 2
s
k1 k2
Y ( s ) = + 2 + términos de los polos de T(s)
s s
Tomando transformada inversa:
y (t ) = k1 + k2t + ytr (t )

Calculamos los coeficientes:
β0
k 2 = T (0 ) × A =
A
α0

k1 = T '(0) × A
(α n s n +...+α1s +α 0 )( mβ m s m −1 +...+ β 2 s + β1 ) −( nα n s n −1 +...+α 2 s +α1 )( β m s m +...+ β 0 )
T '( s ) =
(α n s n+...+α1s +α 0 )2

Calculando en cero:
α 0 β1 − α1β 0
T '(0) =
2

α0

α 0 β1 − α1β 0
k1 = T '(0) × A =
A
2
α0
De donde la respuesta a estado estable es:
yee (t ) = k1 + k2t

α 0 β1 − α1β 0
β0
yee (t ) =
A+
At
2
α0
α0

Calculamos ahora el error de estado estacionario
eee (t ) = r (t ) − yee (t )

α 0 β1 − α 1 β 0
β0
eee (t ) = At −
A−+
At
2
α0
α0
⎡α 0 − β0 ⎤
⎡ α 0β1 − α 1 β 0 ⎤
eee (t ) = ⎢
⎥ At − ⎢
⎥A
2
α0
⎣ α0 ⎦
⎣
⎦

Obsérvese que si:

α 0 ≠ β0
eee (t ) → ∞

En este caso lo que ocurre es que la salida se aleja
de la referencia
El error va aumentando
con el tiempo

yee (t ) eee (t )

r (t ) = At
Aquí comienza la respuesta
De estado estacionario

t

Error infinito de velocidad

Supuesto que α 0 = β 0 , entonces tendremos unerror de velocidad finito que es lo que nos
interesa.

⎡ α1β 0 − α 0 β1 ⎤
eee (t ) = ⎢
⎥A
2
α0
⎣
⎦
De manera similar, definimos el error porcentual
de velocidad:
eee (t )
ev =
× 100%
A

β1 − α1
× 100%
ev =
α0

Esto nos conduce a dos casos

r(t) = At

α 0 = β0
α1 ≠ β1
Error finito de velocidad: la salida es
paralela a la entrada, es decir la sigue
pero con...