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Capitulo 2: Matemáticas necesarias Para el análisis de los Sistemas de control

La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t _ 0 es la función F(s), definida por:

Propiedades de la transformada de laplace
Linealidad. Esta propiedad, la más importante, establece que la transformada deLaplace es lineal; es decir, si k es una constante : L [Kf(t)] =KL [f(t)] =Kf(s)

Teorema de la diferenciación real. Este teorema establece la relación de la transformada
de Laplace de una función con la de, su ,derivada Su expresión matemática es

Teorema de la integración real. Este teorema establece la relación entre la transformada de una función y la de su ‘integral: Su/ expresión esTeorema de la diferenciación compleja. Con este teorema se facilita la evaluación de las transformadas que implican la variable de tiempo t, y se expresa mediante

Teorema de la traslación real En este teorema se ‘trabaja. con la traslación de una función en el eje del tiempo, la función trasladada es la función original con retardo en tiempo. el retardo de transporte ocasiona retardos de tiempoen\ el proceso; este fenómeno se conoce comúnmente como tiempo muerto. El teorema se expresa mediante la siguiente fórmula: L[f(t-t0)]= est0 F(s)

Teorema de la traslación completa, Este teorema facilita la evaluación de la transformada de función que implican al; tiempo como exponente. .a l[eatf(t)]= f (s- a)

Teorema de/ valor final. Este teorema permite el Cálculo ‘del valor final o,de estado Estacionario de una función a partir de su transformada. También es titil para verificar la validez de la transformada que se obtiene. Si el limite t - oo de f(t) existe, se puede calcular a partir de la transformada de Laplace como sigue:
lim1→xf(t)= lims→0sF(s)
Teorema de/ valor inicial. Este teorema \es útil para calcular el valor inicial de una función a partir de su transformada;además proporciona otra verificación de la validez de la transformada que se obtien
lim1→0f(t)= lim1→xsF(s)
Función de transferencia. Si las variables X(s) y Y(S) de la ecuación (2-18) son las Respectivas transformadas de las señales de entrada y de salida de un proceso, instrumento o sistema de control, el término entre corchetes representa por definición, la función de transferencia delproceso, instrumento o sistema de control. Dicha función es la expresión
que, al multiplicarse por la transformada de la señal de entrada, da como resultado la transformada de la función de salida. La función de transferencia proporciona un mecanismo útil para el análisis del comportamiento dinhico y el diseño de sistemas de control.“Se puede definir la función de transferencia como la relación de latransformada de Laplace de la variable de salida sobre la transferencia de Laplace de la variable de entrada”.

EIGENVALORES: Se dice que el denominador de la función de transferencia del sistema es la ecuación característica de la ecuación diferencial y del sistema cuya respuesta dinámica representa. de la ecuación diferencial, y cuyo significado es que son, por definición, característicos de laecuación diferencial e independiente de la función de forzamiento de entrada.
2-3. LINEALIZACIÓN Y VARIABLES DE DESVIACIÓN: linealizacion mediante la cual es posible aproximar las ecuaciones no lineales que representan un proceso a ecuaciones lineales que se pueden analizar mediante transformadas de Laplace. La suposición básica es que la respuesta de la aproximación lineal representa larespuesta del proceso en la región cercana al punto de operación, alrededor del cual se realiza la linealización. El manejo de las ecuaciones linealizadas se facilita en gran medida con la utilización de las variables de desviación o perturbación, mismas que se definen a continuación: Variables de desviación se define como la diferencia entre el valor de la variable o señal y su valor en el punto de...