Hiperboloide

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Hiperboloide

El hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes desimetría.
Estas superficies son de dos clases, como queda obvio en las figuras.

Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de referencia, cuya ecuación es 

, en elsistema de coordenadas 

 (ver el esquema suiguiente). 

La revolución alrededor del eje de simetría rojo da un hiperboloide conexo, mientras que la rotación alrededor del eje azul, que atraviesa dosveces la hipérbola, da un hiperboloide de dos hojas.
Para hallar las ecuaciones de estas superficies, resulta más cómodo trabajar en el sistema de coordenadas , cuyos ejes son los de simetría. Sean Xe Y las coordenadas en este sistema, entonces tenemos la igualdad:

 es decir 

, luego, identificando los coeficientes de sendos vectores:
 La ecuación inicial se escribe también xy = 1, esdecir (X-Y)·(X+Y) = 1, luego: X2 - Y2 = 1.
Si se gira alrededor del eje de los Y, de vector director 

 entonces se otorga a la tercera coordenada Z el mismo papel que a X, por tanto Z y X aparecenbajo la misma forma en la ecuación, concretamente precedido del signo «+»: X2 + Z2 - Y2 = 1.
Del mismo modo, Si se gira alrededor del eje de los X, de vector director 

 entonces Z aparece bajo lamisma forma que Y en la ecuación, es decir con un signo «-»: X2 - Y2 - Z2 = 1.
Reagrupando las coordenadas del mismo signo al inicio de la ecuación, cambiando los signos si hay dos negativos yrenombrando las variables para obtener el orden habitual x,y,z, se obtiene una de estas dos ecuaciones:
x2 + y2 - z2 = 1     o     x2 + y2 - z2 = -1
(una hoja)                                  (dos hojas)Se generaliza estos dos ejemplos así: un hiperboloide es una cuádrica cuya ecuación es, en un sistema de coordenadas adecuado (centrado en el centro de simetría, y cuyos planos son planos de...