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Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origen tienen unúnico origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen.
En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicaciones inyectiva y el conjunto B el de lasaplicaciones sobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, será la intersección de A y B.
Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el mismo número deelementos, la cardinalidad de X es la misma que la de Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos:
• Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicaciónbiyectiva entre ellos, podemos afirmar, que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. La cardinalidad de X es igual a la de Y.

Ejemplo

en el diagrama de la figura:
todos loselementos de Y, que tienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva
todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.
Sitomaremos por conjunto inicial el conjunto de los números naturales:
[pic]
y por conjunto final el de los números naturales pares:
[pic]
Podemos ver que la relación
[pic]
[pic]Por el que a cada número natural x de X, le asociamos un número par 2x de Y, se cumple:
1. f: es una aplicación, dado que a cada uno de los valores x de X le corresponde un único valor 2x de Y.2. esta aplicación es inyectiva dado que a cada número par 2x de Y le corresponde un único valor x de X.
3. y es sobreyectiva porque todos los números pares tienen un origen
Esto nospermite afirmar que hay el mismo número de números naturales que de números naturales pares, se da la paradoja de que los números naturales pares en un subconjunto propio de los números naturales, esta...