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Trabajo Práctico Nº 1: Divisibilidad y números primos

1. Aplicar el principio de la división euclídea para encontrar el cociente q y el resto r a partir de losdividendos D y divisores d que se indican. Recuerde que
D
d
27
13
-27
13
27
-13
-27
-13

2. Para cada aserción, si es verdadera demuéstrela, sino muestre uncontraejemplo.
a) resto(a,b) = resto(resto(a,b),b).
b) resto(a + d,b) = resto(a,b) + resto(d,b)
cociente(a + d,b) = cociente(a,b) + cociente(d,b).
c) resto(ad,b) = resto(a,b)resto(d,b).d) resto(ad,b) = resto(resto(a,b)resto(d,b),b).
3. Calcule resto(21378,7), resto(12125,13), resto(1234567,8). No es necesario obtener la potencia si aplica el resultado deuno de los ejercicios anteriores.
4. Demostrar que si a divide a la suma de b+c y a uno de los sumandos, entonces divide al otro.
5. Demostrar que la suma de 3 enterosconsecutivos es divisible por 3.
6. Determinar si son o no primos, los números 811, 467 y 759.
7. Implemente un algoritmo que permita determinar si un número es o no primo.
8.Encuentre el primer número primo mayor que 1000.
9. Demostrar que si p es primo distinto de 2 y de 5 entonces (p2-1) o (p2+1) es divisible por 10.
10. Comprobar que si n es unentero positivo entonces ninguno de los n enteros consecutivos (n+1)!+2, (n+1)!+3,(n+1)!+4,……,(n+1)!+n+1 es primo. Qué puede decir al respecto (de lo obtenido)?
11. ¿Si semultiplican los primeros n primos y se agrega 1 al resultado se obtiene un nuevo primo?
12. Calcule para los n naturales entre 1 y 20. ¿Qué observa sobre los resultados? ¿Ocurresiempre este fenómeno?.
13. Implementar la Criba de Erastótenes para devolver los primos entre 2 y n. Realice una nueva versión que permite obtener los primeros entre m y n (m