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MATEMÁTICA
MÓDULO 4
Eje temático: Álgebra y funciones
LOGARITMOS
Si nos preguntamos: ¿a cuánto hay que elevar el número 2 para obtener 3?, la
respuesta es un número irracional entre 1 y 2. Este número, por definición, se
denomina “logaritmo en base dos de tres”, lo que se anota log23.
En la expresión loga b, a se denomina base del logaritmo y b se llama
argumento, con a>0, b>0 y a ≠1.Por lo tanto la definición de logaritmo es:
loga b = n ⇔ an = b (a>0, b>0, a ≠1)
A partir de esta definición, se pueden deducir las siguientes propiedades
básicas.
1. Propiedades de logaritmos
Las siguientes igualdades son válidas solo para aquellos valores donde esté
definido el logaritmo, es decir: a>0
(1)
(2)
(3)
(4)

loga a = 1
loga1 = 0
loga an = n

aloga n = n

Las tresprimeras propiedades las puedes verificar inmediatamente a partir de
la definición; la última requiere un poco más de elaboración.
Supongamos que ab = n (con a>0). A partir de la definición de logaritmo, lo
anterior es equivalente a: loga n = b. Si reemplazamos este valor de b en la
igualdad anterior, obtenemos:

aloga n = n , que es lo que se quería demostrar.

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Aparte de las cuatropropiedades básicas anteriores, tenemos las siguientes:
(5)

logc (ab) = logc a + logc b

(6)

⎛ a⎞
logc ⎜ ⎟ = logc a − logc b
⎝b⎠

(7)

logc an = nlogc a

(8)
Si logc a = logc b ⇒ a = b
Para que se cumplan las propiedades anteriores es necesario que a>0, b>0 y
c>0.
A continuación demostraremos solo una de estas propiedades. Las demás se
pueden demostrar de forma similar.Demostración de propiedad (5)
logc (ab) = logc a + logc b
Supongamos que logc (ab) = x ; logc a = y ; logc b = z. Si demostramos que x
= y + z, la propiedad (5) está demostrada.
Si logc (ab) = x ⇒ cx = ab.
Si logc a = y ⇒ cy = a y si logc b = z ⇒ cz = b.
Entonces: cy . cz = ab , pero cy . cz = cy+z.
Por lo tanto cy+z = ab y cx = ab, de modo que: cx = c

y+z

⇒ x = y + z.

Hemos efectuado estademostración solo con el objetivo de que entiendas el
por qué de ella, pero lo más importante es que la apliques bien y no las
confundas.
Por ejemplo, de la propiedad (5) se puede deducir que:
log28 = log24 + log22
lo que es correcto, ya que log28 = 3 ; log24 = 2 y log22 = 1 y 3 = 2 + 1

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2. Logaritmos vulgares o de Briggs
Cuando la base del logaritmo es 10, el logaritmo se llama“logaritmo vulgar” o
“de Briggs”, y su base no se anota:
log a = log10 a
A partir de esta base tenemos que:
log 10 = 1 ; log 100 = 2 ; log 1000 = 3; etc.
Si graficamos la (en base 10) tenemos lo siguiente:

La gráfica corresponde a una función creciente, es decir, si x > y, entonces log
x > log y. Por otro lado, la curva se acerca indefinidamente al eje y en la
medida que x se acerca a 0.
Porejemplo, log 10-5 =-5; log 10-8 =-8, etc.
Observa en la gráfica que cuando calculamos un logaritmo de un número
comprendido entre 0 y 1 resulta un número negativo, es decir:
log (0,5) < 0; log (2/3) < 0, etc. Por el contrario, al calcular el logaritmo de un
número mayor a 1, el resultado siempre es positivo:
log (1,2) > 0 ; log (1,03) > 0, etc.

3

Ejercicios resueltos:
1) Calcular log48
Supongamos que log4 8 = x, entonces por la definición: 4x = 8, igualando
bases:
22x = 23 ⇒ x =

3
3
, por lo tanto: log4 8 =
2
2

⎛ ab ⎞
=
2 ⎟
⎝c ⎠

2) Desarrollar la expresión: log ⎜

utilizando las propiedades 5,6 y 7:

⎛ ab ⎞
log ⎜ 2 ⎟ = log ( ab ) − log c2 = log a + logb − 2log c
⎝c ⎠
3) Expresar en un solo logaritmo la expresión: 2log a – log b – 3log c.
En esteejercicio se solicita lo contrario que en el anterior:
Primero ocupamos la propiedad 7:
log a2 – log b – log c3
Ahora utilizamos la propiedad 6:

⎛ a2 ⎞
log ⎜ ⎟ − log c3
⎝b⎠
Volviendo a utilizar la propiedad 6 obtenemos:

⎛ a2 ⎞
log ⎜ 3 ⎟
⎝ bc ⎠

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4) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I.
II.
III.

log (0,2) + log (0,3) < 0.
log 3 – log (0,2) <...