Idea Fundamental De Un Limite

Concepto de límite



Como ya vimos en la sección anterior la idea de límite
de una función significa que las imágenes f(x) están
arbitrariamente cerca de un número L; pero,qué quiere decir
arbitrariamente cerca? Ya sabemos que no existe el punto
“más cerca” de L por lo que debemos de usar las propiedades
y definiciones que vimos en el capítulo 2 acerca delos
números para establecer la idea de que las imágenes f(x)
están tan cerca como se desee.
Supongamos que deseamos saber si f(x) ﷓> L
cuando x ﷓> a, como f(x) debe estararbitrariamente
cerca de L, la diferencia f(x) ﷓ L debe ser muy
pequeña, positiva o negativa, entonces |f(x)﷓L| debe
ser cero o positivo y arbitrariamente pequeño, para que esto
suceda debeser menor que cualquier número positivo dado.
De la misma forma |x﷓a| debe ser pequeño y la
definición de límite se puede establecer formalmente.
Definición 4.1 El límite def(x) cuando x tiende a un
valor a es L si para todo número e > 0 existe un d >0 tal
que
|f(x)﷓L| ‹ e cuando 0 < |x﷓a| < d.
Límite de funciones. Cálculo
Propiedades.
Sean dosfunciones f(x) y g(x), para las que existe límite en un punto o en el infinito. Entonces
:
[pic]
En general calcular el límite de una función "normal", cuando x tiende a un número real, esfácil, basta aplicar las reglas de cálculo indicadas, sustituyendo la variable independiente por el valor real al que la x tiende. No obstante, en ocasiones, nos podemos encontrarcon sorpresas, por ejemplo, que la función no esté definida para el valor en el que queremos calcular el límite . Esta situación, es habitual, cuando el límite lo queremos calcular cuandox tiende a infinito. Una función no está definida en un punto, siempre que al intentar calcularla en ese punto, resulte alguna de las formas siguientes:
[pic]
.