Ieasaaa

` MATEMATIQUES 1 COGNOMS: NOM: 1. (2 punts) Siga la funci´ o

7-11-2011

MODEL A

GRUP:

g(x, y) = calcula

ln (x + y) (x + 2y)5

∂g en el punt (1, 0) ∂x

Soluci´: o ∂g = ∂x
1 (x+y)· (x + 2y)5 − ln(x + y) · 5 (x + 2y)4 ((x + 2y)5 )2 = + 2y) − 5ln(x + y) (x + 2y)6 + 2 · 0) − 5ln(1 + 0) (1 + 2 · 0)6 = 1 − 5ln(1) =1 1

= ∂g ∂x

1 (x (x+y)

=
(1,0)

1 (1 (1+0)

2. (2punts) Calcula les derivades parcials i el vector gradient de la funci´ o f (x, y) = Soluci´: o √ 2 4 xy e(xy +x )

∂f y y √ √ 2 4 2 4 2 4 = √ ·e(xy +x ) + xy·e(xy +x ) ·(y 2 +4x3 ) = e(xy +x ) √ +xy(y 2 + 4x3 ) ∂x 2 xy 2 xy

∂f x x √ √ 2 4 2 4 2 4 = √ · e(xy +x ) + xy · e(xy +x ) · (2xy) = e(xy +x ) √ + xy(2xy) ∂y 2 xy 2 xy

f (x, y) =

e(xy

2 +x4 )

y x √ √ 2 4 √ + xy(y 2 + 4x3 ) ,e(xy +x ) √ + xy(2xy) 2 xy 2 xy

3. (2 punts) Calcula les derivades parcials i la matriu jacobiana de la funci´ vectorial o m(u, v, w) = u2 ev−w , sin  Jm(u, v, w) =  2uev−w
1 v

u v −u2 ev−w
uv

u2 ev−w − vu2 cos

 

cos

u v

0

4. (2 punts) Calcula les derivades de segon ordre i la matriu hessiana de la funci´ o f (x, y) = 3x2 ln3 y  Hf (x, y) =  18 x ln2 y y 6 ln3 y
x218 x ln2 y y 9 y2 lny(2 − lny)

 

En cas de que es complisquen les condicions del teorema de Schwarz, ¿quines conseq¨`ncies t´ sobre la matriu hessiana? ue e Sempre es compleix el teoremade Schwarz i diu que en derivades sucesives, el resultat ´s el mateix indepenenment de l’ordre de derivaci´. La conseq¨`ncia sobre la matriu e o ue hessiana ´s que ´s sim`trica (que no cuadrada), ´s adir, e e e e H12 = H21 . 5. (2 punts) Donada la seg¨ent funci´ escalar depenent de dos variables, calcula el seu u o vector gradient i obt´n els seus punts cr´ e ıtics, ´s a dir f (x, y) = (0, 0) e f(x, y) = x + ln x3 + ey − 5y 3 1 + , ey − 5 x

f (x, y) =

= (0, 0)

∂f 3x2 3 =1+ 3 =1+ =0 ∂x x x ∂f = ey − 5 = 0 ∂y (x, y) = (−3, ln5)

` MATEMATIQUES 1 COGNOMS: NOM: 1. (2 punts) Siga la...