Iliminacion
Páginas: 10 (2284 palabras)
Publicado: 13 de octubre de 2012
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN
SAN CRISTÒBAL - TÁCHIRA
TRABAJO DE ALGEBRA LINEAL MATRICES Y DETERMINANTES
Autores: Andrea Uribe R
CI: 24.819615
San Cristóbal, Mayo de 2012.
Introducción:
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J Sylvester. El desarrollo inicial de lateoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio desistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos1) Definición de Matrices y Determinantes.
a) Definición de matriz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
[pic]
Abreviadamente suele expresarse en la forma A = (aij), con i =1, 2,..., m, j =1, 2,..., n. Lossubíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
Algunos tipos de matrices.
Matrices cuadradas
Una matriz cuadrada es la que tieneel mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.
Ejemplo: Sean las matrices
[pic]
Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
Matriz identidad
Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. Latraza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.
La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,
A· I = I ·A = A.
Matrices triangulares
Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriztriangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices
[pic]
son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.
Matrices diagonales
Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag. (d11, d22,..., dnn ). Por ejemplo,
[pic]
son matrices diagonales que puedenrepresentarse, respectivamente, por
diag (3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).
Traspuesta de una matriz
La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.
Así, la traspuesta de
[pic]
[pic]
En otras palabras, si A = (ai j) es una matriz m ð n, entonces AT = [pic]
es la matriz n ð m. La trasposición de una matriz cumplelas siguientes propiedades:
1. (A + B) T = AT + BT.
2. (AT) T = A.
3. (kA) T = kAT (si k es un escalar).
4. (AB) T = BTAT.
Matrices simétricas
Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica,
si AT = -A.
Ejemplo:
Consideremos las siguientes matrices:
[pic]
[pic]
Podemos observar que los elementos simétricos de A...
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN
SAN CRISTÒBAL - TÁCHIRA
TRABAJO DE ALGEBRA LINEAL MATRICES Y DETERMINANTES
Autores: Andrea Uribe R
CI: 24.819615
San Cristóbal, Mayo de 2012.
Introducción:
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J Sylvester. El desarrollo inicial de lateoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio desistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos1) Definición de Matrices y Determinantes.
a) Definición de matriz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
[pic]
Abreviadamente suele expresarse en la forma A = (aij), con i =1, 2,..., m, j =1, 2,..., n. Lossubíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
Algunos tipos de matrices.
Matrices cuadradas
Una matriz cuadrada es la que tieneel mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.
Ejemplo: Sean las matrices
[pic]
Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
Matriz identidad
Sea A = (ai j ) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. Latraza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.
La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,
A· I = I ·A = A.
Matrices triangulares
Una matriz cuadrada A = (ai j ) es una matriz triangular superior o simplemente una matriztriangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices
[pic]
son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.
Matrices diagonales
Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag. (d11, d22,..., dnn ). Por ejemplo,
[pic]
son matrices diagonales que puedenrepresentarse, respectivamente, por
diag (3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).
Traspuesta de una matriz
La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.
Así, la traspuesta de
[pic]
[pic]
En otras palabras, si A = (ai j) es una matriz m ð n, entonces AT = [pic]
es la matriz n ð m. La trasposición de una matriz cumplelas siguientes propiedades:
1. (A + B) T = AT + BT.
2. (AT) T = A.
3. (kA) T = kAT (si k es un escalar).
4. (AB) T = BTAT.
Matrices simétricas
Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica,
si AT = -A.
Ejemplo:
Consideremos las siguientes matrices:
[pic]
[pic]
Podemos observar que los elementos simétricos de A...
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