infinito

Boletín Vol. I, Nº2, Año 1994

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El concepto de infinito
José Ramón Ortiz
Hay un concepto que es el corruptor y el
desatinador de los otros. No hablo del Mal cuyo
limitado imperio es la ética: hablo del infinito.
Jorge Luis Borges

Introducción Histórica
¿Cuantas almas caben en un centímetro cubico? ¿Cuántos ángeles pueden bailar en la punta de una aguja?
De acuerdo conWittgenstein esta clase de preguntas no tenían
ninguna aplicación porque, mientras ellas conjuran una «imagen»
(picture), con esta imagen no podemos hacer nada. Según Wittgenstein,
lo mismo podía ser dicho del infinito: «la clase de todas las clases
equinumerable con la clase de series infinitas» , así como «la clase de
todos los ángeles que caben en la punta de una aguja», es vacía en
tanto no seencuentre un uso para ella. Tal uso, todavía, no sólo no ha
sido descubierto, sino que debe ser inventado. ( p. 59e)
Por su parte Poincare exclamaba: ¿Es posible razonar sobre
objetos que no pueden ser definidos en un número finito de palabras?
¿Es posible aún hablar de ellos y saber que lo que hablamos tiene
algún sentido? ¿O por el contrario, deben ser considerados inconcebibles? Para mí, nodudo en considerarlos mera nada. ( p.60)

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Asociación Matemática Venezolana

Y Hilbert llamaba al orden en su artículo «Sobre el Infinito»: al
clarificar la idea de infinito debemos tomar aún en consideración un
aspecto más general del problema. Si miramos con atención, encontramos que la literatura matemática está llena de absurdos y sinsentidos,
que normalmente son achacados alinfinito. Así por ejemplo, algunos
enfatizan la estipulación, como una condición restrictiva, que, si
queremos mantener el rigor matemático, sólo un número finito de
inferencias es admisible en una prueba —como si hubiera habido
alguien capaz de llevar a cabo un número infinito de inferencias. (Van
Heijenoort, p. 370)
Uno de los logros más grandes de la matemática como lenguaje
ha sido su propiocoraje imaginativo para enfrentar el concepto más
innaccesible y paradójico que haya podido pretender la fragilidad
temporal del intelecto humano: el concepto de infinito. Casi podríamos
decir que la matemática es el lenguaje que pretende hablar del infinito,
o la ciencia que pretende medir el infinito.
Vulgarmente se utiliza la palabra infinito para denotar algo muy
grande, ilimitado, oimposible de contar. Pero el infinito va más allá de
lo «muy grande» y de la posibilidad humana (temporal) de contar. La
noción de infinito como idea de algo ilimitado o inalcanzable, ha sido
una fuente de confusión a través de la historia. Perturbó a los antiguos
griegos, quienes trataron inútilmente de comprenderlo sometiendo el
infinito a la intuición del sentido común, la cual,lamentablemente,
estaba inspirada en un mundo finito y, generalmente, los condujo a
conclusiones contradictorias y paradójicas, como la famosa carrera
donde Aquiles nunca alcanza a la tortuga.

Boletín Vol. I, Nº2, Año 1994
Para Platón y Pitágoras el infinito era apeiron, el caos, el infinito
carecía de medida: metron. La voz «apeirón» tal como la emplea
Anaximandro, significa «sin fin» o «sinlímite», suele traducirse como
«lo infinito», «lo indefinido», «lo ilimitado».
La idea del infinito también fue rechazada por Aristóteles y los
escolásticos, basados en las mismas contradicciones que el concepto
de infinito generaba. Uno de los típicos argumentos esgrimido en
contra del infinito era el conocido como la «aniquilación de los
números», según este argumento los números finitos seríanabsorvidos
por los números infinitos, es decir, para todo número finito a, a+∞ = ∞
y de esta forma los números infinitos aniquilaban a los números finitos.
Aristóteles trató de enfrentar el problema del infinito a través de
dos representaciones, dos concepciones complementarias y cuya
interacción dialéctica ha influido el propio desarrollo de la matemática.
En el tercer libro de su obra...