Infinito
Páginas: 3 (681 palabras)
Publicado: 19 de octubre de 2015
Infinito
¿Porque √2 es irracional?
Demostración
:
El método que vamos a utilizar para la demostración es el de la
reducción al
absurdo. Este método consiste en suponer que se cumple una hipótesis, hacer
operaciones verdaderas con ella y si se llega a un absurdo es que lo que habíamos
supuesto era falso.
En este caso la hipótesis es que
vamos a suponer que √2 es racional, o sea que
existe una fracción de números enteros ab que es igual a √2 . Dicha fracción la
suponemos ya lo más simplificada posible, pues si no lo estaba se simplifica y ya
está.
a
√
b = 2
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad
2
2
2
Multiplicamos por
b
los dos miembros de la igualdad
a
=
2
.b
2
Esta expresión nos dice que
a es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro
número. Y por tanto
a
es par.
2
Pero
a
es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea
dos veces.
Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de
b2
, el otro 2 tiene que estar en
2
el
b
Eso quiere decir que
b2 también tiene que ser par, y por tanto
b
también es par.
a
Pero si
a
es par y
b
también, la fracción b no es irreducible, como habíamos
supuesto.
Ya hemos llegado al absurdo. Teníamos una fracción irreducible ab cuyo numerador
y denominador son pares.
Por tanto lo que habíamos supuesto era falso: NO EXISTE NINGUNA FRACCIÓN
DE NÚMEROS ENTEROS IRREDUCIBLE QUE SEA IGUAL A √2 , o lo que es lo
mismo √2
no es un número racional, es un NÚMERO IRRACIONAL
La diagonal de Cantor
No se pueden poner todos los números reales del 0 al 1 en fila, pero en el año 1891 Georg Cantor propuso su método de la diagonal para demostrar que el conjunto de
los números reales no es numerable. Su demostración no fue la primera, pero sí la ...
¿Porque √2 es irracional?
Demostración
:
El método que vamos a utilizar para la demostración es el de la
reducción al
absurdo. Este método consiste en suponer que se cumple una hipótesis, hacer
operaciones verdaderas con ella y si se llega a un absurdo es que lo que habíamos
supuesto era falso.
En este caso la hipótesis es que
vamos a suponer que √2 es racional, o sea que
existe una fracción de números enteros ab que es igual a √2 . Dicha fracción la
suponemos ya lo más simplificada posible, pues si no lo estaba se simplifica y ya
está.
a
√
b = 2
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad
2
2
2
Multiplicamos por
b
los dos miembros de la igualdad
a
=
2
.b
2
Esta expresión nos dice que
a es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro
número. Y por tanto
a
es par.
2
Pero
a
es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea
dos veces.
Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de
b2
, el otro 2 tiene que estar en
2
el
b
Eso quiere decir que
b2 también tiene que ser par, y por tanto
b
también es par.
a
Pero si
a
es par y
b
también, la fracción b no es irreducible, como habíamos
supuesto.
Ya hemos llegado al absurdo. Teníamos una fracción irreducible ab cuyo numerador
y denominador son pares.
Por tanto lo que habíamos supuesto era falso: NO EXISTE NINGUNA FRACCIÓN
DE NÚMEROS ENTEROS IRREDUCIBLE QUE SEA IGUAL A √2 , o lo que es lo
mismo √2
no es un número racional, es un NÚMERO IRRACIONAL
La diagonal de Cantor
No se pueden poner todos los números reales del 0 al 1 en fila, pero en el año 1891 Georg Cantor propuso su método de la diagonal para demostrar que el conjunto de
los números reales no es numerable. Su demostración no fue la primera, pero sí la ...
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