informática para la vida real
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Publicado: 27 de octubre de 2013
El estandar IEEE-754
Introducción.
El estándar de la IEEE para aritmética en coma flotante (IEEE 754) es el estándar más extendido para las computaciones en coma flotante, y es seguido por muchas de las mejoras de CPU y FPU.
El estándar define formatos para la representación de números en coma flotante (incluyendo el cero) y valores desnormalizados, así como valores especiales como infinito yNaN, con un conjunto de operaciones en coma flotante que trabaja sobre estos valores. También especifica cuatro modos de redondeo y cinco excepciones (incluyendo cuándo ocurren dichas excepciones y qué sucede en esos momentos).
Se establecen dos formatos básicos para representar a los números reales en la computadora digital: precisión simple (32 bits) y precisión doble (64 bits).
El lenguajede programación C, ahora permite pero no requiere la aritmética de la IEEE (el tipo de C float es típicamente usado para la precisión simple de la IEEE y el tipo double usa la precisión doble de la IEEE).
Representación del IEEE-754
Hemos hablado de dos tipos de representación: precisión simple y precisión doble.
Precisión simple
En precisión simple para escribir un número real se utilizan 32bits (4 bytes): 1 bit para signo (s), 8 bits para el exponente (exp), y 23 bits para la mantisa (m). Se distribuyen de la siguiente forma:
El exponente se suele representar en exceso a 2n-1-1, mientras que, para la mantisa, normalmente se utiliza el signo magnitud. Además la mantisa se suele normalizar colocando la coma decimal a la derecha del bit más significativo.
Ejemplo: para escribir elnúmero 101110,0101011101000011111000011111000100112 en el estándar IEEE-754 con precisión simple, exponente en exceso 2n-1-1 y la mantisa en signo magnitud primero hay que normalizarlo:
1. Separamos el bit de signo que es el bit más significativo (el más a la izquierda).
101110,0101011101000011111000011111000100112
1,011100101011101000011111000011111000100112 x 25 (25 porque la coma se hadesplazado 5 lugares)
2. El exponente, en exceso a 2n-1-1 será:
510 + (28-1-1)10= 510+(27-1)10=510+(128-1)10= 510+12710=13210 = 10000100EX a 127.
510 es el exponente al que está elevado el 2, que recordamos que son los lugares que se ha desplazado la coma a la izquierda.
(28-1-1)10 es el exceso.
3. De la mantisa se cogen los 23 bits más significativos:
011100101011101000011111000011111000100111,0111001010111010000111 (el bit que está en negro se le llama bit implícito y no se guarda)
El resto de bits no se pueden representar, ya que, no caben en la mantisa. Sin embargo, cuando la mantisa se normaliza situando la coma decimal a la derecha del bit más significativo, dicho bit siempre vale 1. Por tanto, se puede prescindir de él, y coger en su lugar un bit más de la mantisa. De estaforma, la precisión del número representado es mayor. Por tanto, los bits de la mantisa se quedan:
01110010101110100001111100001111100010011
01110010101110100001111
Al bit que hemos omitido se le llama bit implícito. Por otra parte, el bit de signo vale 0 ya que el número es positivo. En consecuencia, el número se puede representar como:
Los programadores, para representar a los números realesen este formato, suelen utilizar el sistema decimal.
En este caso, los números no son exactamente iguales ya que, con precisión simple no se han podido representar todos los bits de la mantisa.
En este siguiente ejemplo, dado un número hexadecimal (3E400000) del estándar IEEE-754 con precisión simple, exponente en exceso a 2n-1-1 y mantisa en magnitud con bit implícito, vamos a averiguar acual número representa en base 10. Para ello realizamos los siguientes pasos:
1. Convertimos el número decimal a binario:
2. Obtener los bits del signo, del exponente y de la mantisa (1 para el signo, el más significativo, 8 para el exponente y 23 para la mantisa).
00111110010000000000000000000000
3. Pasar el exponente a base 10.
01111100 – (28-1-1) = 1*26+1*25+1*24+1*23+1*22 = 12410 –...
Introducción.
El estándar de la IEEE para aritmética en coma flotante (IEEE 754) es el estándar más extendido para las computaciones en coma flotante, y es seguido por muchas de las mejoras de CPU y FPU.
El estándar define formatos para la representación de números en coma flotante (incluyendo el cero) y valores desnormalizados, así como valores especiales como infinito yNaN, con un conjunto de operaciones en coma flotante que trabaja sobre estos valores. También especifica cuatro modos de redondeo y cinco excepciones (incluyendo cuándo ocurren dichas excepciones y qué sucede en esos momentos).
Se establecen dos formatos básicos para representar a los números reales en la computadora digital: precisión simple (32 bits) y precisión doble (64 bits).
El lenguajede programación C, ahora permite pero no requiere la aritmética de la IEEE (el tipo de C float es típicamente usado para la precisión simple de la IEEE y el tipo double usa la precisión doble de la IEEE).
Representación del IEEE-754
Hemos hablado de dos tipos de representación: precisión simple y precisión doble.
Precisión simple
En precisión simple para escribir un número real se utilizan 32bits (4 bytes): 1 bit para signo (s), 8 bits para el exponente (exp), y 23 bits para la mantisa (m). Se distribuyen de la siguiente forma:
El exponente se suele representar en exceso a 2n-1-1, mientras que, para la mantisa, normalmente se utiliza el signo magnitud. Además la mantisa se suele normalizar colocando la coma decimal a la derecha del bit más significativo.
Ejemplo: para escribir elnúmero 101110,0101011101000011111000011111000100112 en el estándar IEEE-754 con precisión simple, exponente en exceso 2n-1-1 y la mantisa en signo magnitud primero hay que normalizarlo:
1. Separamos el bit de signo que es el bit más significativo (el más a la izquierda).
101110,0101011101000011111000011111000100112
1,011100101011101000011111000011111000100112 x 25 (25 porque la coma se hadesplazado 5 lugares)
2. El exponente, en exceso a 2n-1-1 será:
510 + (28-1-1)10= 510+(27-1)10=510+(128-1)10= 510+12710=13210 = 10000100EX a 127.
510 es el exponente al que está elevado el 2, que recordamos que son los lugares que se ha desplazado la coma a la izquierda.
(28-1-1)10 es el exceso.
3. De la mantisa se cogen los 23 bits más significativos:
011100101011101000011111000011111000100111,0111001010111010000111 (el bit que está en negro se le llama bit implícito y no se guarda)
El resto de bits no se pueden representar, ya que, no caben en la mantisa. Sin embargo, cuando la mantisa se normaliza situando la coma decimal a la derecha del bit más significativo, dicho bit siempre vale 1. Por tanto, se puede prescindir de él, y coger en su lugar un bit más de la mantisa. De estaforma, la precisión del número representado es mayor. Por tanto, los bits de la mantisa se quedan:
01110010101110100001111100001111100010011
01110010101110100001111
Al bit que hemos omitido se le llama bit implícito. Por otra parte, el bit de signo vale 0 ya que el número es positivo. En consecuencia, el número se puede representar como:
Los programadores, para representar a los números realesen este formato, suelen utilizar el sistema decimal.
En este caso, los números no son exactamente iguales ya que, con precisión simple no se han podido representar todos los bits de la mantisa.
En este siguiente ejemplo, dado un número hexadecimal (3E400000) del estándar IEEE-754 con precisión simple, exponente en exceso a 2n-1-1 y mantisa en magnitud con bit implícito, vamos a averiguar acual número representa en base 10. Para ello realizamos los siguientes pasos:
1. Convertimos el número decimal a binario:
2. Obtener los bits del signo, del exponente y de la mantisa (1 para el signo, el más significativo, 8 para el exponente y 23 para la mantisa).
00111110010000000000000000000000
3. Pasar el exponente a base 10.
01111100 – (28-1-1) = 1*26+1*25+1*24+1*23+1*22 = 12410 –...
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