Informe laboratorio valor numérico de Pi

DETERMINACIÓN DEL NÚMERO PI

Daniel Páez Latorre, Luisa Fernanda Rivera, Angélica María Rojas
Departamento de Física, Universidad del Valle
10 de septiembre de 2015

Resumen. Se realizó una práctica de laboratorio para determinar la magnitud aproximada de del número , mediante la medición repetitiva de varias circunferencias de diferente diámetro, usando como instrumentos medidores el pie de reyy la cinta métrica. Con la respectiva división de las dos magnitudes –perímetro entre diámetro-, obtuvimos como resultado que el valor numérico de equivale a 3.16 0,01.

Palabras clave: Diámetro, perímetro, pi, exactitud, precisión.


INTRODUCCIÓN

El valor numérico de pi no posee un único descubrimiento, aunque su cálculo aproximado se remonta a varias civilizaciones humanas: babilonios,egipcios, hebreos, y esencialmente incluye los trabajos de los Griegos y ciertas estimaciones encontradas en antiguos tratados matemáticos chinos e hindúes[1] El cálculo de la magnitud se realiza despejando la fórmula de perímetro[2] expresada como:

(1)

Donde P representa el perímetro y D el diámetro, dependientes del tamaño de cada círculo y π aproximadamente3.1416 para cualquier circunferencia.

El propósito del presente laboratorio es calcular experimentalmente el valor de pi, usando correctamente los instrumentos de medida y comprar el resultado con el valor aceptado a nivel mundial. Así como el buen manejo y aplicación de conceptos como error, incertidumbre, cifras significativas, precisión y exactitud.

PROCEDIMIENTO

Para determinar el valor deπ se utilizó una cinta métrica, cinco circunferencias y un pie de rey marca Scala® (Fig.1). Se midió con la cinta métrica las respectivas circunferencias y se anotó cada valor, luego con el pie de rey se evaluó el diámetro de los discos.
Este procedimiento se realizó tres veces para cada uno de los cinco discos, los datos obtenidos se encuentran registrados en la tabla 1.



Fig. 1. Constade: 1- Circunferencias de madera, 2- Pie de rey Scala®, 3-Cinta métrica.


Tabla 1. Datos del Perímetro y diámetro de los discos de madera.

Diámetro(mm)
[± 0.05mm]
Perímetro(mm)
[± 1mm]
40,00
126,00
60,00
191,00
79,70
253,00
99,80
315,00
120,00
381,00


RESULTADOS

Despejando la ecuación (1), y con los valores de la tabla 1 se calcula el valor aproximado de , completando de este modo la tabla2.

Tabla 2. Valores calculados de π.

Pi π

3,15
3,18
3,17
3,16
3,18

Promediando, el valor de Piπ obtenido mediante este método es:



Este resultado difiere del valor aceptado para el valor de π de 3.1415, con un error relativo del 0.96% y tiene una incertidumbre relativa del 0.32%.

Otro método para hallar el valor aproximado de π es relacionando los valores en una gráfica, como la divisióndel perímetro entre el diámetro de una circunferencia deberá ser el valor numérico de pi, es decir, una constante, esta gráfica deberá ser lineal, si los discos medidos aumentan su perímetro y diámetro, según los datos de la tabla 1.




Fig. 2. Relación del perímetro con el diámetro de las circunferencias.

Donde la pendiente de la gráfica será el valor aproximado de π.

(2)


Este resultadodifiere del valor aceptado para el valor de π de 3.1415, con un error relativo del 0.64% y tiene una incertidumbre relativa del 0.32%.


DISCUSIÓN DE LOS RESULTADOS

Tras la ejecución del presente laboratorio se obtuvieron resultados aproximados al valor real de . Por medio de dos métodos; despejando en la ecuación (1) y hallando la pendiente de la gráfica presente en la figura 2, al cualdenominamos método gráfico. Aunque la toma de medidas de perímetro y diámetro fue ejecutada de la misma forma para cada circunferencia el valor numérico de pi fue más preciso y exacto en el método gráfico al arrojar 3.16 como valor numérico aproximado de , con los porcentajes de precisión y exactitud 0.64 y 0.32 respectivamente, difiriendo de 3.17, valor arrojado por el método analítico con porcentajes...