Ing. Comercial e Ing. Informático

MODELO DE
BLACK-SCHOLES

Puntos a desarrollar
• ¿Como de obtiene la ecuacion de Black-Scholes de
valoracion de derivados? (Valoracion neutral al
riesgo)
• ¿Cuales son las formulas analiticas de valoracion de
call y puts europeas?
• ¿Que es la volatilidad implicita?
• ¿Como hay que modificar las formulas B-S, para
valorar opciones sobre indices, divisas y futuros?
• ¿Como se utilizanlas opciones sobre indices para
asegurar el valor de una cartera?

La Distribución Lognormal

E ( ST ) = S0 eµT
2 2 µT

var ( ST ) = S0 e

(e

σ2T

− 1)

Los conceptos que subyacen en
el modelo de Black-Scholes
• El precio de la opción y el precio de la acción dependen
de la misma fuente de incertidumbre
• Podemos construir una cartera formada por la opción y
la acción paraeliminar la incertidumbre
• La cartera es instantáneamente libre de riesgo y debe
ganar la rentabilidad del activo libre de riesgo
• Esto conduce a la ecuación diferencial de BlackScholes

La Derivación de la ecuación
diferencial de Black-Scholes
∆S = µS ∆t + σS ∆z
∂ƒ
∂ 2ƒ 2 2 
∂ƒ
∂ ƒ
+ ½ 2 σ S ∆t +
∆ƒ = 
µS +
σS ∆z
∂t
∂S
∂S
 ∂S

Formamos una cartera :
− 1 : derivado∂ƒ
+
: acciones
∂S

La Derivación de la ecuación
diferencial de Black-Scholes
El valor de la cartera Π viene dado por
∂ƒ
Π = −ƒ +
S
∂S
El cambio en su valor en el tiempo ∆t viene dado por
∂ƒ
∆Π = −∆ ƒ +
∆S
∂S

La Derivación de la ecuación
diferencial de Black-Scholes
La rentabildiad de la cartera debe ser la rentabilidad del
activo libre de riesgo :
∆Π = r Π∆ t
Sustituyen do∆ ƒ y∆S se obtiene la ecuación diferencial
de Black - Scholes :
∂ƒ
∂ƒ
∂ 2ƒ
+ rS
+ ½ σ 2S 2
= rƒ
2
∂t
∂S
∂S

La ecuación diferencial
• Cualquier activo cuyo precio depende del precio de una
acción satisface la ecuación diferencial anterior
• Las características particulares del activo que esté
siendo valorado serán introducidas a través de las
condiciones de contorno
• En uncontrato forward la condición de contorno es
ƒ = S – K siendo t =T
• La solución a la ecuación es ƒ = S – K e–r (T – t )

Valoración riesgo-neutro
• La variable µ no aparece en la ecuación de BlackScholes
• La ecuación es independiente de todas las
variables afectadas por las preferencias de riesgo
• Esto conduce al principio de valoración riesgoneutro

Fórmulas de Black-Scholes
c = S 0N (d 1 ) − X e − rT N (d 2 )
p = X e − rT N (−d 2 ) − S 0 N (−d 1 )
donde d 1 =
d2 =

2 / 2)T
ln(S 0 / X ) + (r + σ
σ T

2 / 2)T
ln(S 0 / X ) + (r − σ
σ T

= d1 − σ T

Volatilidad implícita
• La volatilidad implícita de una opción es la
volatilidad para la cual el precio de BlackScholes es igual al precio de mercado
• Hay una correspondencia uno a uno entre
los precios y lasvolatilidades implícitas

Dividendos
• Las opciones europeas sobre acciones que
pagan dividendos son valoradas
sustituyendo el precio de la acción menos el
valor actual del dividendo en Black-Scholes
• Sólo deben incluirse los dividendos con
vencimiento a lo largo de la vida de la
opción
• El dividendo debería ser la reducción
esperada en el precio esperado de la acción

Ejemplo deopcion europea sobre
una accion que paga dividendos
• Dividendos dentro de tres y seis meses son
de dos euros.
• Precio accion actual 100. P. Ejercicio= 90 y
fecha de ejercicio es 9 meses. Tasa libre de
riesgo r=10%. Volatilidad: 0.25 anual
• Remplazar en la formula de B-S, el precio
S por S menos los dividendos acualizados:

S − D1e

− rt1

100 − 2e

− ... − Dn e

− 0.10*0.25− 2e

− rt n

− 0.10*0.5

y sustituyendo queda
c = 15.6465

=
= 96.1469

Opciones europeas sobre acciones
que pagan dividendos continuos
En cada uno de los siguientes casos
tomamos la misma distribución de
probabilidad para el precio de una
acción en el momento T :
1. La acción parte del precio S0 y
proporciona una rentabilidad por
dividendos q
2. La acción parte del...