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PROBLEMAS RESUELTOS 1
(continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de
funciones de varias variables)
PROBLEMA 1
Estudiar la continuidad de la función:
x2 y
f ( x, y ) = x 2 + y 2
0
( x, y ) ≠ (0, 0)
( x, y ) = (0, 0)
SOLUCIÓN
Planteamos el estudio del límite en el origen realizando un cambio a coordenadas
polares:
x = ρ cos (θ )
y = ρ sen (θ )
Así:
l=
lim
( x , y )→( 0 ,0 )
ρ 3 cos 2 (θ ) sen (θ )
= lim ρ cos 2 (θ ) sen (θ ) = 0
2
ρ →0
ρ →0
ρ
f ( x, y ) = lim
de donde se sigue que la función dada es continua en el origen, ya que
lim
( x , y ) →( 0 , 0 )
f ( x, y ) = f (0, 0) = 0 .
1
Ingeniería Técnica de Obras Públicas. Construcciones Civiles.
PROBLEMA 2
Estudiar lacontinuidad de la función:
x+ y
f ( x, y ) = x − y
0
( x, y ) ≠ (0, 0)
( x, y ) = (0, 0)
SOLUCIÓN
Planteamos el estudio del límite en el origen realizando un cambio a coordenadas
polares:
x = ρ cos (θ )
y = ρ sen (θ )
Así:
l=
lim
( x , y ) →( 0 ,0 )
f ( x, y ) = lim
ρ →0
ρ cos (θ ) + ρ sen (θ ) cos (θ ) + sen (θ )
=
ρ cos (θ ) − ρ sen (θ )cos (θ ) − sen (θ )
Por tanto, el límite depende de θ , de donde se sigue que no existe límite doble y que la
función dada no es continua en el origen.
2
Funciones de varias variables.
PROBLEMA 3
Estudiar la continuidad de la función:
x2 y2
f ( x, y ) = x 2 y 2 + ( x − y ) 2
0
( x, y ) ≠ (0, 0)
( x, y ) = (0, 0)
SOLUCIÓN
El origen es el punto en el quela definición de la función cambia, por tanto, es en ese
punto donde debemos estudiar si se pierde la continuidad o no. Para ello, estudiamos la
existencia del límite doble de f(x,y) en dicho punto.
Si construimos la curva paramétrica
x = t
y = t h(t )
donde lím t h(t ) = 0 , entonces:
t →0
l=
lím
( x , y )→( 0,0 )
t 2t 2 h 2 (t )
t 2 h 2 (t )
= lím 2 2
t → 0 t 2 t 2 h2 (t ) + (t − th(t )) 2
t → 0 t h (t ) + (1 − h(t )) 2
f ( x, y ) = lím
por ello,
si
0
=0
1
h(t )− > ∞ => l = 0
si
h(t )− > k ≠ 0 => l =
si
h(t ) → 0 => l =
0
(1 − k ) 2
Nos encontramos con la duda sobre el valor del límite l cuando h(t) es una función tal
que lim h(t ) = 1 . Para solventar este problema estudiamos algún caso particular de
t →0
función h(t),por ejemplo, tomando h(t)=(1-t). En tal caso,
l = lim
t →0
t 2 (1 − t )
2
t 2 (1 − t ) + t 2
2
(1 − t ) = 1 ≠ 0 .
= lim
2
t →0
(1 − t ) + 1 2
2
Del resultado obtenido deducimos que no existe el límite doble de f(x,y) en el origen y,
por tanto, la función dada no es continua en (0,0).
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Ingeniería Técnica de Obras Públicas. Construcciones Civiles.
PROBLEMA 4Estudiar la continuidad de la función:
y2
f ( x, y ) = x 2 + y 2
0
( x, y ) ≠ (0, 0)
( x, y ) = (0, 0)
SOLUCIÓN
Planteamos el estudio del límite en el origen realizando un cambio a coordenadas
polares:
x = ρ cos (θ )
y = ρ sen (θ )
Así:
l=
lim
( x , y )→( 0,0 )
ρ 2 sen 2 (θ )
= sen 2 (θ )
2
ρ →0
ρ
f ( x, y ) = lim
Por tanto, el límitedepende de θ , de donde se sigue que no existe límite doble y que la
función dada no es continua en el origen.
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Funciones de varias variables.
PROBLEMA 5
Estudiar la continuidad de la función:
x3 + y 3
f ( x, y ) = x 2 + y 2
0
( x, y ) ≠ (0, 0)
( x, y ) = (0, 0)
SOLUCIÓN
Debemos estudiar la continuidad de la función en el origen. Para ello, estudiamos laexistencia del límite doble de f(x,y) en dicho punto.
Si construimos la curva paramétrica
x = t
y = t h(t )
donde lím t h(t ) = 0 , entonces:
t →0
l=
lím
( x , y )→( 0,0 )
t 3 + t 3 h3 (t )
t + t h3 (t )
= lím
t → 0 t 2 + t 2 h 2 (t )
t → 0 1 + h 2 (t )
f ( x, y ) = lím
por ello,
si
h(t ) → 0 => l =
0
=0
1
t
+ t h(t )
0
h (t )
h(t )− > ∞ => l = lim
= =0...
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