Ing. Mecánico

n

c X  c 
i

Z

i

i 1

i

i 1

n
2
i

c 

i

para n grande tiene distribución Z  N (0,1)

2
i

i 1

Podemos escribir Z  N (0,1)

n 
Consideraremos como grande a “n” cuando n ≥ 30.
Observación 1. Si consideramos:
 todas las constantes ci = 1(i = 1, 2,…, n)


Todas las esperanzas µi = 1 (i = 1,2,…,n)



todas las varianzas (σi)2 =σ2 (i = 1,2,…,n)

el enunciado del teorema se reduce a:
Sean:
 X1, X2,…,Xn una sucesión de variables aleatorias independientes con E(Xi) = µ y
V(Xi) = σ2 (i = 1, 2,…,n).

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n

 X   X i variable aleatoria
i 1

Entonces:
n

n

X  X i para n grande tiene distribución X   X i
i 1

N (n , n 2 )

i 1

O bien:
n

n

 X i  n
Z

i 1

n 2

X


i

 n

i 1

 n

Podemos escribir: Z 

n

para n grande tiene distribución Z  N (0,1)
N (0,1)

Observación 2. Como vemos este teorema trata de la normalidad aproximada de una
suma de “n” variables aleatorias, donde n es grande.Aplicaremos este teorema para obtener la distribución de la media muestral. Para ello lo
enunciamos en forma equivalente a la vista en segundo lugar, como sigue:
Sea (X1, X2,…,Xn) una muestra aleatoria de tamaño n de una
población con media μ y varianza σ2. Si n es grande,
entonces:

1 n
 Xi
n i 1
tiene aproximadamente una distribución normal con:
X

media  X  
desviaciónestándar  X 


n

Equivalentemente:
Z

X 
tiene distribución aproximadamente N(0,1)

n

El hecho sobresaliente de este teorema es que aún si la población original no es
normal, la media estandarizada es aproximadamente normal si n es grande (n≥ 30).
Ambas formas de enunciar el teorema son equivalentes, pues:

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n

X 
Z
Z

n

( 1n )( X i )  
i 1



n

X


i

 n

i 1

n

 n

En el siguiente cuadro resumimos lo dicho sobre la distribución de muestreo de X

Distribución de la media muestral X
1. Si se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n (n grande, n ≥ 30)
de la v.a. X (concualquier distribución) con media µ y desviación
estándar σ, la distribución de muestreo de la media muestral X será
aproximadamente normal con:
Media:  X  
Desviación Estándar:  X 


n

2. Si se selecciona una muestra aleatoria de tamaño n de una v.a. con
distribución normal con media µ y desviación estándar σ, la
distribución de muestreo de la media muestral X tendrá exactamentedistribución normal con:
Media:  X  
Desviación Estándar:  X 


n

En este caso n es grande o chico.
La Fig.1 sugiere que las distribuciones muestrales de X serán aproximadamente
normales para tamaños de muestra n = 25, para la mayoría de las poblaciones.

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Fig.1

Error estándar de la media
El error estándar o típico de la media juega un papel fundamental en la Estadística, ya
que mide la variabilidad de la distribución muestral de X ; esto es las variaciones
aleatorias de la media muestral con respecto a la verdadera media µ.
1. Si las observaciones se seleccionan aleatoriamente de una población grande
(infinita) o deuna población finita pero con reemplazo el error estándar (o
típico) de la media es  X 


n

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Del error típico  X 


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
obtenemos dos conclusiones importantes:
n

Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, menor será el...