ingeneria meacanica

CERTAMENES Y PAUTAS PARA EL
MODULO 1
´
DE ALGEBRA Y TRIGONOMETR´
IA:
220009
MATERIAL RECOPILADO DURANTE
EL PRIMER SEMESTRE DE 2012
RPI ——, ISBN ————

Proyecto financiado por el Departamento de Matem´tica–UBB.
a

Profesores participantes: Gabriel Sanhueza, Carlos Picarte,
Jos´ Godoy, Sergio Caucao.
e

Concepci´n, 2012.
o

Departamento de Matem´tica–Universidad del B´
a
ıo-B´ıo

´
Indice general
0.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1. Modulo 1

3
4

1.1. Certamen 1A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Pauta Certamen 1A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Certamen 1B . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Pauta Certamen 1B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5. Certamen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6. Pauta Certamen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7. Certamen 3 . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8. Pauta Certamen3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9. Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2

0.1.

Introducci´n
o

3

Cap´
ıtulo 1

Modulo 1
1.1.
1.

Certamen 1A
a) (10 puntos) Dadas p, q, r tresproposiciones tales que:
p: es verdadera (V),

q: es falsa (F),

r: es verdadera (V)

Determine el valor de verdad de la proposici´n compuesta, justificando cada paso que
o
realice
((¬p ∧ r) → ¬q) ←→ (p → (q ∨ r))
b) (15 puntos) Determine si las proposici´n [(p → q) ∧ ¬q] → ¬p es Tautolog´ Contino
ıa,
gencia o Contradicci´n. Justifique sus pasos
o
2. En una encuesta realizada a un grupode 100 estudiantes, la cantidad de personas que estudiaban varios idiomas fueron las siguientes:
Ruso 28

Lat´ 42
ın

Ruso y Lat´ 10
ın

Los tres idiomas

Ingl´s 30
e

Ruso e Ingl´s 8
e

Ingl´s y Lat´ 5
e
ın

3

a) (7 puntos) ¿Cu´ntos estudiantes estudian ning´n idioma?
a
u
b) (6 puntos) ¿Cu´ntos estudiantes ten´ al Lat´ como unico idioma de estudio?
a
ıan
ın
´
c) (6puntos) ¿ Cu´ntos estudiantes aprend´ Ruso o Ingl´s pero no Lat´
a
ıan
e
ın?
d ) (6 puntos) Represente el problema mediante un diagrama de Venn.

4

3.

a) (12 puntos) Realice un diagrama de Venn para los conjuntos
(A ∩ C) − B y (A − B) ∩ (C − B)
b) (13 puntos) Utilizando igualdades de conjuntos (propiedades) y simplificando, demostrar (A ∩ C) − B = (A − B) ∩ (C − B)

4.

a) (12puntos) Dada la funci´n proposicional ∃ x ∈ Z : x2 − 1 = 0. Determine el conjunto
o
de elementos x ∈ Z que satisfacen la igualdad. Adem´s niegue la funci´n proposicional.
a
o
b) (13 puntos) Dado el conjunto A = {−1, 1, 2}, y la funci´n proposicional ∃ x ∈ A, ∀y ∈
o
A : x ≤ y 2 , determine su valor de verdad y niegue la funci´n proposicional.
o

5

1.2.
1.

Pauta Certamen 1A
a) (10puntos) Dadas p, q, r tres proposiciones tales que:
p: es verdadera (V),

q: es falsa (F),

r: es verdadera (V)

Determine el valor de verdad de la proposici´n compuesta, justificando cada paso que
o
realice
((¬p ∧ r) → ¬q) ←→ (p → (q ∨ r))
Soluci´n:
o
((¬p ∧ r) → ¬q)
((∼ V ∧ V ) →∼ F )
((F ∧ V ) → V )
(F → V )
V

←→ (p → (q ∨ r))
←→ (V → (F ∨ V ))
←→ (V → (F ∨ V ))
←→
(V → V)
←→
V
V

El valor de verdad de la proposici´n compuesta es VERDADERO.
o
b) (15 puntos) Determine si las proposici´n [(p → q) ∧ ¬q] → ¬p es Tautolog´ Contino
ıa,
gencia o Contradicci´n. Justifique sus pasos
o
Soluci´n:
o
p q ∼p
V V
F
V F
F
F V
V
F F
V

∼q
F
V
F
V

p→q
V
F
V
V

[p → q] ∧ ¬q
F
F
F
V

[(p → q) ∧ ¬q] → ¬p
V
V
V
V

Seg´n la ultima...