Ingenieria de sistemas

MATERIAL DE LECTURAS DE LA SEMANA 5 DE ME Estimación Puntual Ahora in iciamos lo co rrespondiente a la estadística inferencial. Re cordemos que aqu í lo qu e s e desea es e stimar cie rtas c aracterísticas de un a pob lación, m ediante lo s dat os obten idos en un a muestra aleatoria d e e sa población. Pr imeramente m encionamos alg unos con ceptos bás icos d e la estadística inferencial.Parámetro. Es una constante correspondiente a una distribución de probabilidad o a una población. Ejemplo. Para la distribución binomial; sus parámetros son: n, p. Para la distribución geométrica; su parámetro es p. Para la distribución poisson, su parámetro es λ. Para la distribución exponencial, su parámetros es θ. Para la distribución normal, sus parámetros son µ y σ. Ahora, los parámetros típicos quese des ean conocer de una población son; la media, la varianza o una prop orción. E l prob lema de la estad ística in ferencial es e stimar el v alor d e esto s par ámetros mediante la información q ue hay en una m uestra al eatoria. En nu estro cu rso nos en focaremos a estimar parámetros poblacionales, es decir, nos enfocaremos en estimar la media, la varianza o la proporción de una población.Estadístico. Es un a función de una m uestra, o u na fórmula matemática calculada en lo s valores de ~ 2 una muestra aleatoria. Por ejemplo; X , X , S , S, Rango, etc. Es de cir, s e pu eden ver como

funciones o fórmulas calculadas en los valores de una muestra aleatoria.

Estimador Puntual. Es un e stadístico utili zado pa ra e stimar e l va lor de un pa rámetro desconocido a p artir de unamuestra aleatoria. Por ejemplo, el mejor estimador puntual de 2 la media de una poblaci ón es X , el m ejor e stimador pun tual de l a v arianza e s S , E l me jor X estimador puntual de un a proporción es p = , donde X es el número de “ éxitos” en una ˆ n muestra aleatoria de tamaño n. Estimación por intervalo Aunque la t eoría d e lo s estimadores puntual es es mu y completa y s e pueden tene restimadores puntuales muy buenos, no es su ficiente qued arse solo con estimaciones puntuales, ya que no te ndríamos información a cerca de que t an ce rca o tan lejos podría estar el valor d el par ámetro de su estimación pu ntual. Por ejemplo, si te nemos que X = 80.52, entonces se espe ra que el v alor r eal de la media poblacional µ de be ser un v alor cercano a 80.52. pero no tenemos idea deque tan cerca de 80.52 pued e estar el valor de µ.. la estimación por intervalo de con fianza nos pu ede dar información sobre que tan c erca o que tan lejos de una esti mación puntual esta el valor del parámetro pobla cional. Entonces, al estimar el v alor de un parámet ro poblacion al se re comienda h acerlo mediante un intervalo de confianza. Una estimación por intervalo de un parámetropoblacional θ , consiste en construir un intervalo de la forma θˆ1 < θ < θˆ2 , donde los ex tremos del intervalo se obtienen de ac uerdo a la distribución del estimador del parámetro y de 1 – α, donde 1 – α es la probabilidad de

que el intervalo conten ga al valor del pa rámetro (0 < α < 1) y se le lla ma nive l de confianza. A un inte rvalo obtenido de esta manera se l e llama interv alo deconfianza (IC) de θ , con un nivel de confianza de 1 – α. IC para la media con varianza conocida. Suponer una muestra aleatoria d e una v.a. X con distribución normal y varianza conocida. El IC para la media con un nivel de confianz a de 1-α está dado por:  σ   σ  X − zα / 2  (1)  < µ < X + zα / 2    n  n donde zα / 2 es el valor de z tal que P( z > zα / 2 ) = α / 2 . NOTA: S i es una m uestrag rande ( n ≥ 30), σ se pue de sustituir por S sin importar l a distribución de probabilidad que tenga X. Ahora se presenta la just ificación de la fó rmula (1). Suponer una muestra de tamaño n de una población normal( µ, σ). Sea x el promedio de la muestra. Luego, se tiene que x tiene una distribución normal con media µ, y desvia ción estándar σ/√n (obse rve que x es una v.a.). Luego

tiene...