Ingeniero Petrolero

Universidad Autónoma de Tamaulipas
Unidad Académica Multidisciplinaria Reynosa Rodhe
Cd. Reynosa, Tamaulipas

Interpolación de Newton

Explicación:
Interpolación es, a partir de una serie de puntos, obtener una ecuación cuya curva pase por todos ellos o lo más cerca posible.
El método de interpolación de Newton es un poco más complicado que el de LaGrange, pero como todo lo de Newton, es maspreciso.
Por supuesto que este método tiene todo un desarrollo teórico para llegar a la ecuación general, pero es demasiado largo y para fines prácticos lo que sirve al final es solo la forma de realizar el método y como aplicarlo.
La ecuación general para este método es la siguiente:

Lo importante de este método o la parte interesante es el cálculo de las b's.

Aquí es donde el método toma sunombre de diferencias divididas. Hay distintas formas de hacerlo, pero una de las que más se recomiendan porque es clara y fácil es la siguiente:

Primero se ponen en 2 columnas acomodados de tal modo que se correspondan todas las x y las f(x) que se desean interpolar.
Después se hacen a su lado tantas columnas como puntos son -1, así si son 5 puntos se hacen 4 columnas. Así para el caso de tener 5puntos el acomodo quedaría mas o menos así:

X | f(x) | f(xi,xi) | f(xi,xi,xk) | ... | ... |
x0 | f(x0) | f(x1,x0) | f(x2,x1,x0) |   |   |
x1 | f(x1) | f(x2,x1) |   | f(x3,x2,x1,x0) |   |
x2 | f(x2) | f(x3,x2) | f(x3,x2,x1) |   | f(x4,x3,x2,x1,x0) |
x3 | f(x3) |   |   | f(x4,x3,x2,x1) |   |
x4 | f(x4) | f(x4,x3) | f(x4,x3,x2) |   |   |

La notación f(x1, x0) se interpreta de la siguientemanera:
,así como f(x2,x1) es: , esto para b1.

*Para b2 la notación f(x2, x1, x0) es: y así se van obteniendo sucesivamente todos los valores de b que son los que quedan en la primera celda de arriba para abajo en todas las columnas (en las que aparece la leyenda bn cuando pasas el mouse en el ejemplo de arriba).

Con este ejemplo se verá mas claramente de lo que se habla:

x | f(x) | _ | _ | _|
-3 | 2 | | | _ |
7 | -1 | | _ | |
17 | 9 | _ | _ | _ |
27 | 11 | | | |

Los valores de b se encuentran en las celdas que tienen borde rojo.
Una vez obtenidos dichos valores simplemente se sustituyen en la ecuación general, se simplifica dicha ecuación y se tiene una cuya curva pasa casi exactamente por todos los puntos especificados.

FUENTE DE INFORMACIÓNhttp://www.geocities.com/halen_shezar/interpolacion/newtonint.html

Interpolación
El problema de interpolación consiste en encontrar el valor de la función F(x), de la cual sólo se conocen algunos puntos, para un valor de x que se encuentre entre dos valores consecutivos conocidos. En pocas palabras podriamos decir que:
"La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores enlos extremos".
El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:
(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)
y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función.
Deseamos encontrar la expresión analítica de dicha función para poder estudiarla en otros puntos.
Ahora bien, por n+1puntos pasan infinitas funciones, ¿con cuál de ellas nos quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más sencilla. La familia de funciones más sencillas es la de los polinomios, por tanto buscaremos el polinomio de menor grado que pase por los n+1 puntos dados.
La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos es en principio de grado n:   y= anxn+............+a1x+ao
Y se obtiene resolviendoel sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas (sistema que tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los coeficientes es de Vandermonde y por lo tanto distinto de cero)
Se le llama polinomio interpolador correspondiente a esos puntos. Una vez obtenida su expresión dando valores en él se pueden encontrar nuevos puntos de la función. Los resultados obtenidos son naturalmente...