Inrtegro

Integraci´n por fracciones
o
parciales
El cociente de dos polinomios se denomina funci´n racional. La derio
vaci´n de una funci´n racional conduce a una nueva funci´n racional que
o
o
o
puede obtenerse por la regla de la derivada de un cociente. Por otra parte,
la integraci´n de una funci´n racional puede conducirnos a funciones que no
o
o
son racionales1 por ejemplo:
dx
= ln |x| + C y
x

dx
=arctan (x) + C
1 + x2

ahora daremos un m´todo para calcular la integral de una funci´n racional
e
o
cualquiera y se ver´ que el resultado puede expresarse siempre por medio de
a
polinomios, funciones racionales, arco tangentes y logaritmos.
La idea del m´todo es descomponer la funci´n racional en fracciones
e
o
simples que pueden calcularse por medio de t´cnicas ya conocidas (de dee
be realizar ladescomposici´n en fracciones parciales de la funci´n racional
o
o
considerada).
(x)
o
Supongamos entonces que f (x) es una funci´n racional, si es impropia
g
podemos simplemente dividir y nos queda

f (x)
R (x)
= Q (x) +
g (x)
g (x)
donde Q es un polinomio (el cociente de la divisi´n) y R (x) es el resto de
o
la divisi´n (note que el grado del resto es menor que el del divisor g (x)),
o
de estaforma toda funci´n racional se puede escribir como la suma de un
o
polinomio con una funci´n racional propia.
o
1

¿C´mo puede mostrarse que determinada funci´n no es racional?
o
o

1

Nelson Cifuentes F.

Del curso de complementos de mat021 sabemos que toda funci´n racional
o
propia se puede descomponer en suma de fracciones de la forma
A

(0.0.1)

(αx + β )k
y
Bx + C
+ bx + c)m

(0.0.2)

(ax2donde k, m ∈ N, a, b, c, A, B, C, α, β son constates y
b2 − 4ac < 0
en (0.0.2) lo que nos dice que es una cuadr´tica sin ra´
a
ıces reales.
Luego el calculo de la integral de una funci´n racional, se reduce al
o
calculo de integrales de polinomios (que ya sabemos calcular) y a calculo de
integrales de la forma
Adx
(αx + β )k
y
(Bx + C ) dx
(ax2 + bx + c)m
aprenderemos a calcular este tipo deintegrales.
Ejemplo 1. Consideremos la integral
x2

5x + 3
+ 2x − 3

dx

la funci´n racional
o

5x + 3
x2 + 2 x − 3
es propia (el grado del denominador es mayor que el del denominador) podemos descomponerla en suma de fracciones parciales, para ello necesitamos
conocer las ra´
ıces reales del denominador, como
x2 + 2x − 3 = (x + 3) (x − 1)
se sigue que
5x + 3
5x + 3
=
x2 + 2 x − 3
(x + 3) (x − 1)
Apuntesde Clases

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Nelson Cifuentes F.

luego por el m´todo de las fracciones parciales, existen constantes A y B
e
tales que
A
B
5x + 3
=
+
x2 + 2 x − 3
x+3 x−1
para determinar las constantes podemos utilizar alguno de los m´todos coe
nocidos, por ejemplo multiplicar ambos lados de la expresi´n por el denoo
minador
5x + 3 = A (x − 1) + B (x + 3)
evaluando la igualdad en x = 1obtenemos
8 = A · 0 + 4B =⇒ B = 2
evaluando la igualdad en x = −3 se obtiene
−15 + 3 = A (−4) + B · 0 =⇒ A = 3
se sigue
5x + 3
3
2
=
+
x2 + 2 x − 3
x+3 x−1
luego
x2

5x + 3
+ 2x − 3

3
2
+
dx
x+3 x−1
dx
dx
+2
=3
x+3
x−1
= 3 ln |x + 3| + 2 ln |x − 1| + C

dx =

el procedimiento utilizado en este ejemplo es aplicable cuando el polinomio
del denominador posee tantas ra´
ıces reales como el grado delpolinomio y
todas las ra´
ıces distintas.
Ejemplo 2. Calcular
(2x − 1) dx
(x − 1) (x − 2) (x − 3)
Como ya conocemos las ra´
ıces del denominador, efectuamos la descomposici´n en fracciones parciales:
o
A
B
C
(2x − 1)
=
+
+
(x − 1) (x − 2) (2x − 3)
x − 1 x − 2 2x − 3

Apuntes de Clases

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Nelson Cifuentes F.

y aplicamos alguna t´cnica que nos permita encontrar los valores delas
e
constantes, por ejemplo multiplicar por el denominador
2x − 1 = A (x − 2) (2x − 3) + B (x − 1) (2x − 3) + C (x − 1) (x − 2)
evaluando tal igualdad en x = 1 obtenemos
2 − 1 = A (1 − 2) (2 − 3) + B · 0 + C · 0
as´
ı
1 = A (−1) (−1) =⇒ A = 1
evaluando en x = 2 se obtiene
4 − 1 = A · 0 + B (2 − 1) (4 − 3) + C · 0
as´
ı
3=B
y finalmente, evaluando en x =

3
2

se obtiene

3−1=A·0+B·0+C
as´
ı
2=C...