integarcion

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
En esta sección las identidades trigonométricas nos servirán para integrar ciertas combinaciones de funciones trigonométricas, además nos facilita al calculo de funciones racionales en el cual se nos facilitara mas aplicar dichas identidades. Comenzaremos con las potencias de seno y coseno.

o
(En donde al menos uno de los exponentes, n o m es un enteropositivo).
Para evaluar la integral trigonométrica
En general, se intenta escribir un integrando en el que intervienen potencias de seno y coseno en una forma donde se tiene sólo un factor seno (y el resto de la expresión en términos de coseno) o sólo un factor coseno (y el resto de la expresión en términos de seno).
La identidad permite convertir de una parte a otra entre potencias pares de seno ycoseno.
Tendremos 3 casos:
1. Cuando n es impar
Cuando en la integral trigonométrica , podemos apartar un factor del seno y sustituirlo por la identidad para poder expresar los factores restantes en términos del coseno:





Al tener el integral de esta forma se puede resolver por medio de sustitución haciendo , . Como en la expresión no tenemos un multiplicamos ambos lados por ynos queda la expresión que ya podemos sustituir:


2. Cuando m es impar
Cuando en la integral trigonométrica , podemos de la misma manera apartar un factor de coseno y emplear para poder expresar los factores restantes en términos del :






Al hacer y tendríamos


3. Cuando m y n son pares
Cuando las potencias de la integral trigonométrica son pares a la vez y ,podemos aplicar las identidades de la mitad de ángulo -y- algunas veces nos será útil utilizar la identidad




Seria igual a:
.

Para evaluar
Se puede usar una estrategia similar a la anterior.
Puesto que:
, se puede separar un factor y convertir la potencia restante (par) de la secante en una expresión relacionada con la tangente por medio de la identidad .
O bien, puesto que:
,se puede separar un factor y convertir la potencia restante (par) de tangente a secante.
Tendremos 5 casos:
1. Cuando n es par
separar un factor de y utilice para lograr expresar los factores restantes en términos de :




de esta manera podemos hacer y y el integral quedaría así:

2. Cuando m es impar
apartar un factor de y emplear para poder expresar losfactores que restan en términos de :



de esta manera podemos hacer y y nos queda

3.



4.
Al encontrarnos con este caso debemos integrar por partes tal como se muestra en el ejemplo 8.

5. cuando no cabe en 1, 2, 3, 4
Al no encontrar la forma de ninguno de los pasos anteriores deberemos trasladarlo a y recordando que:
y



Para otros casos, lasdirectrices no son tan claras. Podría ser necesario usar identidades, integración por partes y, ocacionalmente, un poco de inventiva.
A veces será necesario poder integrar por medio de la fórmula establecida:

Se necesitará también la integral indefinida de la secante:

Esta última se podría comprobar mediante la derivación de lado derecho, o como sigue:
Primero se mutiplican numeradory denominador por  :


Si se sustituye , después , también, la integral se convierte en:

Así, se tiene:


NOTA Para integrales que contienen cosecantes y cotangentes, la estrategia es análoga a la del par secantes-tangentes. Recordar la identidad:


IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES QUE LES SERVIRA DE MUCHA AYUDA
Identidades recíprocas






Identidadespitagóricas




Identidades de paridad




Ejemplos
Ejemplo #1
Evaluar

Solución La simple sustitución no va a servir pues .
Para integrar potencias del coseno necesitaríamos un factor sen x extra. También una potencia del seno necesitaría un factor de más. De modo que se puede separar un factor del coseno y convenir el que queda, es decir, , en una expresión que contenga el seno por...