Integración de funciones reales de una variable rea

Integración de funciones reales de una variable real Definición: (función primitiva) Consideremos la función f : I ⊆ IR → IR , donde I es un intervalo (finito o infinito, cerrado o abierto). La función F : I → IR , se denomina “función primitiva de f en el intervalo I”, si F `( x) = f ( x) para toda x ∈ I .

EJEMPLOS. es una “función primitiva” de la función f ( x) = cos x en IR . b) F ( x) =ln x es una “función primitiva” de la función
f ( x) = 1 x

a)

F ( x) = sen x

en

IR+ ,

donde IR + = ]0 ; + ∞ [ .
1

c) F ( x ) = arcsen x es una “función primitiva” de la función d)
f ( x) = 1− x
2

en ]− 1 ; 1[ . la función

F ( x) = 3 x 2 es una “función primitiva” de 2 f ( x) = 3 en IR ∗ , donde IR ∗ = IR \ {0}. 3 x

Teorema*. Si F es una primitiva de la función f en elintervalo I , entonces cualquier otra “primitiva” δ de la función f en el intervalo I , tiene la forma δ ( x) = F ( x) + C , donde C ∈ IR es una constante arbitraria.

Integral indefinida Definición. Se denomina integral indefinida de la función f en el intervalo I , al conjunto de todas las primitivas de f en dicho intervalo. Tal conjunto lo denotamos por:
Signo Integral

∫ f ( x ) dxFunción Integrando

El signo

∫

se denomina signo integral y la función

f

,

función integrando. De tal modo, si F es una primitiva de f en el intervalo * I , entonces, de acuerdo al teorema , escribimos:

∫ f ( x)dx = F (x) + C donde C ∈ IR es una constante
arbitraria. Esta relación establece una igualdad entre conjuntos de funciones. EJEMPLOS: a) La función
1 f ( x) = x

F ( x) = ln x
x>0

es una primitiva de la función y la función
F ( x ) = ln (- x )
∧

cuando

es

una primitiva de la función f ( x) = x cuando x < 0 , luego:

1

∫ ∫
dx = x

si x > 0 ln x + C , 1 dx = ln x + C =  x ln(− x) + C , si x < 0

b)

∫

a x dx =

1 x a + C en IR , ln a

pues sabemos que y entonces:

( a x ) ` = a x ln a
'

1 x  1 x  a +C = a ln a = a x  ln a  ln a

Propiedades (inmediatas) de la integral indefinida
d  1.- dx  

∫

 f ( x) dx  = f ( x) . 

Esta propiedad nos dice que los símbolos d e

∫

,

se eliminan uno a otro, en el caso que d se aplique

después de f .Es decir, la derivada de la función integral indefinida es igual a la función integrando.

2.-

∫ ( f + g )(x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ g( x)dx .
Laintegral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de las funciones.

3.-

∫

kf ( x)dx = k

∫

f ( x)dx ,

k ≠ 0.

La integral indefinida del producto de un número real k por una función es igual al producto de k por la integral indefinida de la función. Tabla (de las integrales indefinidas fundamentales) 1.-

∫ 0dx = C , donde

C

es una constante realarbitraria.

2.-

∫

x m+1 x dx = +C ; m +1
m

m ≠ −1

3.-

∫ dx = x + C

4.-

∫ ∫

1 dx = ln x + C ; x
x

x≠0

5.-

ax a dx = + C ; 0 < a ≠ 1 . En particular ln a

∫

e x dx = e x + C

6.-

∫ sen xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sen x + C ∫ ∫
sec2 x dx =

7.-

8.9.-

∫ ∫

1 dx = tan x + C ; x ≠ π + nπ ; n = 0; 1;... 2 cos x 2 1 dx = − cot x + C ; x ≠ nπ ; n =0; 1;... sen2 x

csc2 x dx =

10.-

∫ ∫
∫

 arcsen x + C dx =  1 − x2 − arcsen x + C 1  arctan x + C 1 dx =  1 + x2 − arctan x + C
senh x dx = cosh x + C

11.-

12.-

14.-

∫

1 dx = tanh x + C cosh2 x

13.-

∫

cosh x dx = senh x + C

15.-

∫

1 dx = − coth x + C senh2 x

Integración por cambio de variable o método de sustitución

Teorema. Sean f y gfunciones definidas sobre ciertos intervalos de IR , de modo que tenga sentido la compuesta f o g y, además, g sea diferenciable. Si bajo estas condiciones la función f tiene primitiva F , entonces la función ( f o g ) ⋅ g tiene como primitiva la función F o g , es decir:

∫ f [g ( x ) ]⋅ g ' ( x ) dx = F [g ( x ) ] + C
EJEMPLOS: 1.- Para calcula la integral
u = 3 x ⇒ du = 3dx ⇒ dx =

∫...