INTEGRACI N NUM RICA expo

INTEGRACIÓN
NUMÉRICA
GRUPO 1
CAMPOS FÉLIX ULDA
H I D A L G O VÁ S Q U E Z D I A N A
R AV E L L O A LVA M A R T H Y
RIOS USHIÑAGUA DEASY

 INTRODUCCIÓN

 METODOS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA
 METODO DE NEWTON-COTES
 REGLA TRAPEZOIDAL
 REGLA DE SIMPSON : REGLA 1/3
REGLA 3/8



METODO DE INTEGRACIÓN DE ROMBERG
 METODO EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON

INTRODUCCIÓN
La integración numérica es unaherramienta
esencial que se usa en la ciencia y en la ingeniería
para obtener valores aproximados de integrales
definidas que no pueden calcularse analíticamente.
¿ Qué es integrar ?
De acuerdo con la definición del
diccionario, integrar significa: "
llevar junto,
como partes, en un
todo, unir, indicar la
cantidad
total…. "

Matemáticamente la integración se representa por:
Ec. 1
Que se tiene para laintegral de la función f(x) con
respecto a la variable independiente x, evaluada en
los límites x=a y x=b.
Como lo sugiere la definición del diccionario, el
significado de la Ec. 1 es el valor total o sumatoria
de f(x) sobre el rango x=a y x=b.
De hecho, el símbolo es una letra S estilizada que
intenta representar la conexión cercana entre la
integración y la sumatoria.

Observe que el procesorepresentado en la Ec.
1 y en la Fig. 1 es llamado integración definida.

METODOS DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA

FORMULAS DE NEWTON-COTES
Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son
los esquemas de integración más comunes.
Se basan en la estrategia de reemplazar una
función complicada o datos tabulados con una
función aproximada que sea fácil de integrar:
Ec.2
Donde fn(x) es igual a un polinomio dela forma:

Donde n es el orden del polinomio.

Por ejemplo, en la Fig. 2 se usa el polinomio de primer orden
(una línea recta) como una aproximación. Mientras que en
la Fig. 3 se emplea una parábola para el mismo propósito.

Dentro de las fórmulas de Newton-Cotes, existen las formas
cerradas y abiertas. En las formas cerradas se conocen los
valores de f(a) y f(b), en caso contrario, se llamanformas
abiertas.
Nos remitiremos a estudiar únicamente las formas
cerradas, y por lo tanto, siempre supondremos que
conocemos los valores de los extremos, f(a) y f(b).

LA REGLA DEL TRAPECIO
La regla del Trapecio es la primera de las fórmulas
de integración cerrada de Newton-Cotes.
Corresponde al caso donde el polinomio de la Ec. 2
es de primer orden.
Donde n = 1
F(n) es un polinomio de
grado 1.En el gráfico trazamos la recta que une los puntos:
(a, f(a)) y (b, f(b)) obteniendo un trapecio cuya
superficie será, aproximadamente, el valor de la
integral I.

Así tendremos:

Es de apreciar que el error
que se llega a cometer con
esta forma de aplicación
puede ser significativo.
Una mejor aproximación se
obtiene dividiendo el
intervalo de integración
en subintervalos y aplicando en cada unode ellos la
regla trapecial. A este procedimiento se lo conoce
como Regla Trapecial Compuesta.

Ejemplo 1:
Utilizar la regla del trapecio para aproximar la
integral:
 
Solución:
Usamos la fórmula directamente con los siguientes
datos:
 
Por lo tanto tenemos que:
 

La Regla del Trapecio se puede ampliar si
subdividimos el intervalo (a,b) en n subintervalos,
todos de la misma longitud

Sea
lapartición que se forma al
hacer dicha subdivisión. Usando propiedades de la
integral tenemos que:
 
Aplicando la regla del trapecio en cada una de las
integrales, obtenemos:

Ahora bien, ya que todos los subintervalos tienen la
misma longitud h, tenemos que:

Sustituyendo el valor de h y usando la notación
sigma, tenemos finalmente:

Esta es la regla del trapecio para n subintervalos.
Cuantos mássubintervalos se usen, mejor será la
aproximación a la integral, hasta que la importancia
de los errores por redondeo comiencen a tomar
relevancia.

Ejemplo 1:
Aplicar la regla del trapecio para aproximar la integral
si subdividimos en 5 intervalos.
 
Solución:
En este caso, identificamos n=5 , y la partición
generada es:
. . Aplicando la fórmula:

= 1.48065
Vemos que con 5 intervalos, la...