Integracion Definida
Páginas: 7 (1703 palabras)
Publicado: 8 de diciembre de 2012
MATEMÁTICAS II
4.4. Integración definida
1. Integración definida
Sea [pic] una función con una antiderivada denotada por [pic]. Sean [pic] y [pic] dos números reales tales que [pic] y [pic] existen para todos los valores de [pic] en el intervalo cerrado con puntos extremos [pic] y [pic]. Entonces la integral definida de [pic] de [pic] a [pic], se define por
[pic]Los números [pic] y [pic] se denominan como límites de integración, donde [pic] es el límite de inferior y [pic]es el límite superior, de tal forma que [pic]. La integral definida se resuelve al evaluar la antiderivada [pic] en los limites de integración [pic] y [pic]. Igualmente, es común escribir:
[pic]
Que denota nuevamente, la integral definida evaluada en los límites de integración, selee: [pic] en [pic]menos [pic] en [pic]. Al evaluar las integrales definidas, se obvia el valor de las constantes, ya que estas se cancelan en la respuesta final.
2. Propiedades de la integral definida
Sean las funciones [pic] y [pic] son continuas en [pic], entonces se cumple que:
1. [pic]
2. [pic], donde c es cualquier constante.
3. [pic]
4. [pic]
5. Si [pic]y [pic], entonces [pic]
Ejemplos.
Calcular las siguientes integrales.
1. [pic]
Solución
Aplicando la definición y las reglas de integración, se tiene:
[pic]
2. [pic]
Solución
Aplicando la definición y las reglas de integración, se tiene:
[pic]
3. [pic]
Solución
Aplicando la definición y las reglas de integración, se tiene:
[pic]
4.[pic]
Solución
Aplicando la definición y las reglas de integración, se tiene que realizar un cambio de variable:
Sea [pic], al derivar, [pic]. o mejor: [pic]
[pic], luego:
[pic]
5. [pic]
Solución
Aplicando la definición y las reglas de integración:
[pic], luego:
[pic]
6. [pic]
Solución
Aplicando la definición y las reglas de integración:[pic], luego:
[pic]
3. Áreas bajo y entre curvas
La integral definida esta asociada al área bajo de regiones acotadas por curvas. Sea [pic] una función continua en un intervalo [pic], que toma valores no negativos en tal intervalo y sea [pic] una antiderivada de [pic]. Entonces [pic], el área entre la curva [pic], el eje [pic] y las rectas verticales [pic] y [pic], está dadapor la integral definida:
[pic]
Esta área se representa sombreada en la siguiente grafica de la función [pic].
[pic]
Tomado de: http://www.acatlan.unam.mx/acatlecas/mn/integracion_archivos/image005.jpg, Julio 25 de 2010
Ejemplos.
1. Hallar el área de la región [pic] limitada por las gráficas de las ecuaciones [pic], [pic], [pic] y [pic]
Solución
La función [pic], tieneinterceptos en:
En eje [pic], cuando [pic], luego [pic] entonces, [pic]
En eje [pic], cuando [pic], luego [pic] entonces, [pic], como se observa en la grafica:
[pic]
Tomado de: http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie , Junio 25 de 2010
Luego, para calcular el área de la región:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic], considerando el área como unamagnitud física (positiva), se tiene:
[pic]
2. Hallar el área de la región [pic] limitada por las gráficas de las ecuaciones [pic], [pic] y [pic]
Solución
La función [pic], corresponde a una parábola cóncava tiene interceptos en:
En eje [pic], cuando [pic], luego [pic] entonces, [pic]
En eje [pic], cuando [pic], luego [pic], ecuación cuadrática, tal que [pic] y [pic], son losinterceptos: [pic] y [pic].
• La función [pic], es una función lineal, con:
En eje [pic], cuando [pic], luego [pic] entonces, [pic]
En eje [pic], cuando [pic], luego [pic], tal que [pic], es el intercepto: [pic]
Luego, la grafica de la región se representa a continuación. El punto de intercepción entre la recta y la parábola, se obtiene igualando las dos funciones:
[pic]
Al resolver...
4.4. Integración definida
1. Integración definida
Sea [pic] una función con una antiderivada denotada por [pic]. Sean [pic] y [pic] dos números reales tales que [pic] y [pic] existen para todos los valores de [pic] en el intervalo cerrado con puntos extremos [pic] y [pic]. Entonces la integral definida de [pic] de [pic] a [pic], se define por
[pic]Los números [pic] y [pic] se denominan como límites de integración, donde [pic] es el límite de inferior y [pic]es el límite superior, de tal forma que [pic]. La integral definida se resuelve al evaluar la antiderivada [pic] en los limites de integración [pic] y [pic]. Igualmente, es común escribir:
[pic]
Que denota nuevamente, la integral definida evaluada en los límites de integración, selee: [pic] en [pic]menos [pic] en [pic]. Al evaluar las integrales definidas, se obvia el valor de las constantes, ya que estas se cancelan en la respuesta final.
2. Propiedades de la integral definida
Sean las funciones [pic] y [pic] son continuas en [pic], entonces se cumple que:
1. [pic]
2. [pic], donde c es cualquier constante.
3. [pic]
4. [pic]
5. Si [pic]y [pic], entonces [pic]
Ejemplos.
Calcular las siguientes integrales.
1. [pic]
Solución
Aplicando la definición y las reglas de integración, se tiene:
[pic]
2. [pic]
Solución
Aplicando la definición y las reglas de integración, se tiene:
[pic]
3. [pic]
Solución
Aplicando la definición y las reglas de integración, se tiene:
[pic]
4.[pic]
Solución
Aplicando la definición y las reglas de integración, se tiene que realizar un cambio de variable:
Sea [pic], al derivar, [pic]. o mejor: [pic]
[pic], luego:
[pic]
5. [pic]
Solución
Aplicando la definición y las reglas de integración:
[pic], luego:
[pic]
6. [pic]
Solución
Aplicando la definición y las reglas de integración:[pic], luego:
[pic]
3. Áreas bajo y entre curvas
La integral definida esta asociada al área bajo de regiones acotadas por curvas. Sea [pic] una función continua en un intervalo [pic], que toma valores no negativos en tal intervalo y sea [pic] una antiderivada de [pic]. Entonces [pic], el área entre la curva [pic], el eje [pic] y las rectas verticales [pic] y [pic], está dadapor la integral definida:
[pic]
Esta área se representa sombreada en la siguiente grafica de la función [pic].
[pic]
Tomado de: http://www.acatlan.unam.mx/acatlecas/mn/integracion_archivos/image005.jpg, Julio 25 de 2010
Ejemplos.
1. Hallar el área de la región [pic] limitada por las gráficas de las ecuaciones [pic], [pic], [pic] y [pic]
Solución
La función [pic], tieneinterceptos en:
En eje [pic], cuando [pic], luego [pic] entonces, [pic]
En eje [pic], cuando [pic], luego [pic] entonces, [pic], como se observa en la grafica:
[pic]
Tomado de: http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie , Junio 25 de 2010
Luego, para calcular el área de la región:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic], considerando el área como unamagnitud física (positiva), se tiene:
[pic]
2. Hallar el área de la región [pic] limitada por las gráficas de las ecuaciones [pic], [pic] y [pic]
Solución
La función [pic], corresponde a una parábola cóncava tiene interceptos en:
En eje [pic], cuando [pic], luego [pic] entonces, [pic]
En eje [pic], cuando [pic], luego [pic], ecuación cuadrática, tal que [pic] y [pic], son losinterceptos: [pic] y [pic].
• La función [pic], es una función lineal, con:
En eje [pic], cuando [pic], luego [pic] entonces, [pic]
En eje [pic], cuando [pic], luego [pic], tal que [pic], es el intercepto: [pic]
Luego, la grafica de la región se representa a continuación. El punto de intercepción entre la recta y la parábola, se obtiene igualando las dos funciones:
[pic]
Al resolver...
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