Integral indefinida

2. Integrales indefinidas y métodos de integración.
2.1 Definición de integral indefinida.
Dada una función, una primitiva arbitraria de  se denomina generalmente integral indefinida de f(x) y se escribe en la forma. 
La primitiva de una función también recibe el nombre de anti derivada. 
Si  es una función tal que  para  en un intervalo, entonces la integral indefinida de  está dada por: C es cualquier número real y recibe el nombre de constante de integración. 
Teorema 1.
Si  son dos funciones primitivas de la función  sobre un intervalo, entonces, es decir, su diferencia es igual a una constante. 
Puede decirse a partir de este teorema que si se conoce cualquier función primitiva de  de la función, entonces cualquier otra primitiva de  tiene la forma, donde C es unaconstante. 
Luego  
Nos dedicaremos ahora a estudiar los métodos que permiten determinar las funciones primitivas, (y por tanto las integrales indefinidas), de ciertas clases de funciones elementales. 
El proceso que permite determinar la función primitiva de una función  recibe el nombre de integración de la función f(x). 
Las propiedades estudiadas para la integral definida también se cumplen parala integral indefinida.

2.2 Propiedades de integrales indefinidas.
1. La integral de la derivada de una función es la función.

2. La integral de la suma o diferencia de funciones es la suma o diferencia de las integrales de las funciones:

3. la integral indefinida del producto de un número real k por una función f es igual de k por la integral de f:

2.3 Cálculo de integralindefinida.
Una función f (x) cuya derivada, en un cierto intervalo del eje x, F’(x) = f (x), decimos que f (x) es la primitiva o integral indefinida de f (x). La integral indefinida de una función no es única;… Todas las primitivas de f (x) =2x están representadas por la expresión x2 + C, en la que C es una constante cualquiera y que se denomina constante de integración.
El campo vectorial definidoasignando a cada punto (x, y) un vector que tiene por pendiente ƒ(x) = (x3/3)-(x2/2)-x. Se muestran tres de las infinitas primitivas de ƒ(x) que se pueden obtener variando la constante de integración C.
En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.
Una condición suficiente para que una función f admitaprimitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de susprimitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:
  ó  
El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo decalcular integrales definidas de numerosas funciones.

2.3.1 Directa.
Puede ser que, haciendo uso de recursos algebraicos, de las propiedades y de las formulas se puedan encontrar anti derivadas.
En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponerde una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada.
Ejemplo
Calcular la integral.
En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de tan(x) es sec2(x). Por tanto:
2.3.2 Con cambio de variables.
Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable...