Integral indefinida

Integral Indefinida

LA INTEGRAL INDEFINIDA
Autores: Paco Martínez (jmartinezbos@uoc.edu), Patrici Molinàs (pmolinas@uoc.edu).

ESQUEMA DE CONTENIDOS

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Métodos

Ejemplos

Integral Indefinida

Aritmética
Primitiva

Integración por cambio de variable

Integración de funciones racionales

Integración Inmediata

Integración de irracionales

DerivadasIntegración por partes

Integración de funciones trigonométricas

Propiedades

Proyecto e-Math Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

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Integral Indefinida

INTRODUCCIÓN

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En este math-bock trataremos el problema inverso de hallar la derivada de una función: calcular una primitiva de la misma. Aunque se sabe quecualquier función continua tiene primitiva, no existen fórmulas, ni métodos, para calcular éstas con exactitud más que unos pocos casos. El objeto de este tema es exponer algunos de dichos métodos, y su importancia se notará en el capítulo de la Integral definida y sus aplicaciones, donde veremos la relación que hay entre el área y la integral definida y la regla de Barrow, conexión entre el CálculoDiferencial y el Cálculo Integral. Calcularemos integrales indefinidas de todo tipo: inmediatas, mediante cambio de variable, por partes, integración de funciones racionales, irracionales y trigonométricas.

OBJETIVOS
1. 2. 3. 4. 5. 6.

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Conocer y aplicar el concepto de primitiva de una función. Ver la integral como la operación inversa de derivar. Calcular integralesinmediatas, aplicando las propiedades de las primitivas. Transformar una integral en otra más sencilla haciendo un cambio de variable. Hallar integrales por el método de integración por partes. Saber utilizar las funciones racionales y el método de integración derivado de ellas, descomponiendo dichas funciones en fracciones simples, cuyas integrales son inmediatas. Calcular integrales irracionalesy trigonométricas eligiendo el cambio de variable adecuado.

7.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

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A fin de poder aprovechar al máximo esta unidad es recomendable tener conocimientos básicos sobre funciones de una variable, derivación y uso del programa Mathcad.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Concepto de Primitiva

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Sea I unintervalo abierto, y f una función definida en I. Una primitiva de f en I es una función, F, continua en I que verifica: F'(x) = f(x) ∀x∈I. Luego todas las primitivas de f son del tipo G(x) = F(x) + C, siendo C una constante cualquiera, pues G’(x) = F'(x) + 0 = f(x). El conjunto formado por todas las primitivas de f se llama integral indefinida de f, y se designa por ∫ f(x) dx (se lee integral de f(x)diferencial de x). Luego, escribiremos

∫ f(x)dx = F(x) + C
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Integral Indefinida Ejemplo: ∫ 3x2 dx = x3+c, ya que F(x) = x3 ; F’(x) = 3x2 =f(x) Una primitiva de f(x) = 1 + cosx es F(x) = x + sinx. Añadiendo constantes, obtenemos más primitivas

Integración inmediata
A las primitivas que resultanaplicando en modo inverso las fórmulas de derivación se les llama integrales inmediatas. El recuerdo del cuadro de las derivadas de las funciones fundamentales, así como la regla de derivación de una función de función, nos van a permitir recordar una tabla de integrales inmediatas, cuyo uso se hace imprescindible:

∫ e x dx = e x + c

Propiedades: Veamos a continuación las propiedades queverifican las integrales indefinidas, que son consecuencia inmediata de la definición de primitiva y de las propiedades de las derivadas. 1. 2. 3.

∫ ( f ( x) + g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ∀k ∈ R ∫ (k1 f ( x) + k 2 g ( x))dx = k1 ∫ f ( x)dx + k 2 ∫ g ( x)dx

∀k1 , k 2 ∈ R

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