integral triple
Páginas: 6 (1341 palabras)
Publicado: 25 de noviembre de 2014
TEMA 8: INTEGRALES TRIPLES
1. UN EJEMPLO QUE CONDUCE AL CONCEPTO DE INTEGRAL TRIPLE
Supóngase un cuerpo material W, que ocupa una región R cerrada y acotada en el espacio, siendo (P) ó (x,y,z) la densidad de distribución de masas en cada punto P = (x,y,z) de R. Se trata de hallar la masa de dicho cuerpo.
Para ello se efectúa una partición P de R en subregiones elementalesRk (k=1,.......,N) de respectivos volúmenes V(Rk), siendo y si .
En cada región elemental Rk se escoge un punto arbitrario Pk(xk,yk,zk) y se supone como aproximación que en cada Rk la densidad es constante e igual a (xk,yk,zk).
La masa M(W) del cuerpo W será aproximadamente :
Intuitivamente se ve que estas aproximaciones a M(W) serán tanto mejores cuanto menor sea eldiámetro d(P) de la correspondiente partición P.
Puede imaginarse la masa de W, como un cierto límite de las sumas anteriores.
En esta idea se apoya el concepto integral triple.
No significa que una integral represente únicamente una masa. El concepto es más amplio y se utilizará en cualquier problema real cuya resolución conduzca a considerar ciertos limites de sumas como las anteriores citadas.2. CONCEPTO DE INTEGRAL TRIPLE
Es una generalización del concepto de integral doble.
Se considera ahora una función f(x,y,z) definida y acotada en una región R cerrada y acotada del espacio. Se efectúa una partición P de R en las subregiones elementales Rk (k = 1,.......N) cubicables, tal como antes se ha indicado. Sea P el conjunto de tales particiones de R.
Actuando de forma análogaa la vista para las integrales dobles, tras la elección de un punto Pk(xk,yk,zk) en cada Rk, se consideran las sumas de Riemann de f(x,y,z) en R, correspondientes a las diversas particiones P de R y a las funciones de elección e:
Se dice entonces que f(x,y,z) es integrable en R si existe el limite dirigido de las sumas de Riemann anteriores. En este caso, dicho limite recibe el nombre deintegral triple de f(x,y,z) en R.
Se escribe :
Si se hubiese considerado la partición en intervalos se escribiría :
Y el límite antes citado suele designarse como:
3.CASOS PARTICULARES DE FUNCIONES INTEGRABLES
Puede demostrarse que, de forma análoga al caso de las integrales dobles, se verifica :
a) Si f(x,y,z) es continua en una región R del espacio, cerrada yacotada, entonces f es integrable en R.
b) También es f(x,y,z) integrable en R si, siendo acotada en tal región, es continua en la misma excepto a lo sumo en un conjunto A de puntos de medida nula, por ejemplo el conjunto de puntos de una superficie de área finita (Un conjunto A del espacio se dice de medida nula, si puede ser recubierto con un conjunto finito o numerable de intervalos delespacio, cuya suma de volúmenes sea tan pequeña como se quiera).
4.PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES
Como en el caso de las integrales dobles, las triples cumplen también las propiedades de linealidad, aditividad respecto a la región de integración, leyes de monotonía y el teorema de la media, cuyos enunciados son análogos a los correspondientes para las integrales dobles.
5.INTEGRALES TRIPLES IMPROPIAS
El concepto y definiciones son análogos a los vistos para las integrales dobles.
6. CALCULO DE INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CARTESIANAS.
En general, no se calcula una integral triple a partir de su definición como límite dirigido de unas sumas de Riemann. Aunque sí se utiliza la definición cuando es necesario recurrir a hallar valores aproximados, utilizandométodos numéricos.
Para calcular valores exactos, se aplica la versión tridimensional del teorema de Fubini visto para las integrales dobles que permitía resolverlas mediante reiteración de integrales simples. En el caso de integrales triples, se necesitarán tres integrales simples reiteradas.
De forma análoga a lo visto para las integrales dobles, puede demostrarse ahora:
6.1Caso en...
1. UN EJEMPLO QUE CONDUCE AL CONCEPTO DE INTEGRAL TRIPLE
Supóngase un cuerpo material W, que ocupa una región R cerrada y acotada en el espacio, siendo (P) ó (x,y,z) la densidad de distribución de masas en cada punto P = (x,y,z) de R. Se trata de hallar la masa de dicho cuerpo.
Para ello se efectúa una partición P de R en subregiones elementalesRk (k=1,.......,N) de respectivos volúmenes V(Rk), siendo y si .
En cada región elemental Rk se escoge un punto arbitrario Pk(xk,yk,zk) y se supone como aproximación que en cada Rk la densidad es constante e igual a (xk,yk,zk).
La masa M(W) del cuerpo W será aproximadamente :
Intuitivamente se ve que estas aproximaciones a M(W) serán tanto mejores cuanto menor sea eldiámetro d(P) de la correspondiente partición P.
Puede imaginarse la masa de W, como un cierto límite de las sumas anteriores.
En esta idea se apoya el concepto integral triple.
No significa que una integral represente únicamente una masa. El concepto es más amplio y se utilizará en cualquier problema real cuya resolución conduzca a considerar ciertos limites de sumas como las anteriores citadas.2. CONCEPTO DE INTEGRAL TRIPLE
Es una generalización del concepto de integral doble.
Se considera ahora una función f(x,y,z) definida y acotada en una región R cerrada y acotada del espacio. Se efectúa una partición P de R en las subregiones elementales Rk (k = 1,.......N) cubicables, tal como antes se ha indicado. Sea P el conjunto de tales particiones de R.
Actuando de forma análogaa la vista para las integrales dobles, tras la elección de un punto Pk(xk,yk,zk) en cada Rk, se consideran las sumas de Riemann de f(x,y,z) en R, correspondientes a las diversas particiones P de R y a las funciones de elección e:
Se dice entonces que f(x,y,z) es integrable en R si existe el limite dirigido de las sumas de Riemann anteriores. En este caso, dicho limite recibe el nombre deintegral triple de f(x,y,z) en R.
Se escribe :
Si se hubiese considerado la partición en intervalos se escribiría :
Y el límite antes citado suele designarse como:
3.CASOS PARTICULARES DE FUNCIONES INTEGRABLES
Puede demostrarse que, de forma análoga al caso de las integrales dobles, se verifica :
a) Si f(x,y,z) es continua en una región R del espacio, cerrada yacotada, entonces f es integrable en R.
b) También es f(x,y,z) integrable en R si, siendo acotada en tal región, es continua en la misma excepto a lo sumo en un conjunto A de puntos de medida nula, por ejemplo el conjunto de puntos de una superficie de área finita (Un conjunto A del espacio se dice de medida nula, si puede ser recubierto con un conjunto finito o numerable de intervalos delespacio, cuya suma de volúmenes sea tan pequeña como se quiera).
4.PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES
Como en el caso de las integrales dobles, las triples cumplen también las propiedades de linealidad, aditividad respecto a la región de integración, leyes de monotonía y el teorema de la media, cuyos enunciados son análogos a los correspondientes para las integrales dobles.
5.INTEGRALES TRIPLES IMPROPIAS
El concepto y definiciones son análogos a los vistos para las integrales dobles.
6. CALCULO DE INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CARTESIANAS.
En general, no se calcula una integral triple a partir de su definición como límite dirigido de unas sumas de Riemann. Aunque sí se utiliza la definición cuando es necesario recurrir a hallar valores aproximados, utilizandométodos numéricos.
Para calcular valores exactos, se aplica la versión tridimensional del teorema de Fubini visto para las integrales dobles que permitía resolverlas mediante reiteración de integrales simples. En el caso de integrales triples, se necesitarán tres integrales simples reiteradas.
De forma análoga a lo visto para las integrales dobles, puede demostrarse ahora:
6.1Caso en...
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