triple y doble integral

Triple integral
Para el cálculo de las integrales triples partiremos de la definición de integral triple que es similar a la de integral doble, solo que ahora consideraremos una tercera variable:Si f(x,y,z) es continua en un recinto D del espacio R3, tal que D = {(x,y,z) Î R3 |a £ x £ b, c £ y £ d, e £ z £ f, entonces la integral triple de f sobre D, se define como:

siempre que exista ellímite. Nótese que el elemento de volumen es dV = dx dy dz.
Tomando en cuenta las consideraciones de continuidad para f(x,y,z) y las consecuencias posteriores de integrabilidad similares a las hechaspara la integral doble, se tiene que la integral triple sobre el paralelepípedo D de la función f(x,y,z) se puede expresar como:

Como se puede observar se utilizan integrales iteradas. Para lasmismas también se cumple el teorema de Fubini, o sea se puede cambiar el orden de integración obteniéndose el mismo resultado.
Ejemplo. Sea D = [0,1]×[0,2]×[0; 3] y f(x,y,z) = xyz. Entonces:

Ejercicioa entregar por escrito: cambiar el orden de integración y comprobar que se obtiene el mismo resultado.
 
Al igual que se hizo para las integrales dobles, se extienden estos conceptos a recintos másgenerales, acotados por funciones que se definen en función de las variables de la manera siguiente:

Nótese que integramos entre 2 funciones de x e y que acotan los valores de z, posteriormenteentre dos funciones de x que acotan los valores de y y finalmente entre los valores de a y b que acotan a la variable x. Si consideramos otro orden de integración hay que hacer las correspondientesconsideraciones sobre las funciones que acotan los valores de cada variable.
Ejemplo: Calcular la integral triple de f(x,y,z) = xy en la región definida por
D ={(x,y,z) Î R3 |x2+y2+z2 £ 1, x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0.
R/ Nótese que la región de integración es la parte de la esfera de centro en el origen de coordenadas y radio 1 que está contenida en el primer octante, que se muestra en la siguiente...