Integrales Dobles

Benem´rita Universidad Aut´noma de Puebla
e
o
A
Integral Doble en L TEX
B´rcena Garc´ Lu´ Enrique
a
ıa ıs
8 de julio de 2012

Doble integral
Imaginemos un rectangulo en el suelo el cualesta delimitado por a y b
en el eje x y por c y d en el eje y, ahora imagine una sabana ensima de
nuestro rect´ngulo sin obiamente tocar el suelo al hacer esto nuestra sabana
a
quedar´ delimitadapor el rect´ngulo que llamaremos R ahora las caras que
ıa
a
se forman del rect´ngulo hasta esta sabana las llamaremos v y presisamente
a
queremos calcular el ´rea de este volumen formado entrenuestra funcion
a
y el rect´ngulo, presisamente esta es la aplicacion de la integral doble esta
a
sabana esta en el eje z y sera llamada f (x, y ) en la siguiente imagen se
presenta unainterpretaci´n gr´fica de la explicaci´n anterior
o
a
o

Figura 1: Integral doble

Definici´n
o
Ahora que hemos explicado un poco en que consiste la idea de integral
doble pasemos a una definicion formalentonces:
El volumen que esta sobre R y bajo la gr´fica de una funci´n no negativa f,
a
o

1

se llama integral doble de f sobre R y se denota por:
f (x, y )dxdy.

f (x, y )dA

(1)

R

RA continuaci´n se presenta un ejemplo de integral doble.
o
Evalue la integral doble si R es una region del plano xy que consiste de todos
los puntos (x, y ) para los cuales −1 ≤ x ≤ 2 y 1 ≤ y ≤3:
(3y − 2x2 )dA
R
3

2

(3y − 2x2 )dxdy
1

(2)

−1

Ahora resolviendo la primera integral recuerda que integras respecto de x y
evaluas con los l´
ımites de la primera integral por locual tenemos la siguiente
ecuaci´n.
o
3

=
1

2
[(3yx − x3 )]2 1
−
3

evaluando los l´
ımites nos quedar´ la integral siguiente:
a
3

(9y − 6)dy

=
1

Ahora resolvemos laintegral respecto de y y luego evaluaremos los limites
para asi obtener el ´rea
a
9
= [ y 2 − 6y ]3
1
2
= 24

Referencias
[1] Leithold,L. (2010).El C´lculo. Oxford University Press M´xico S.A....