Integrales Matlab

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Practica 3: Calculo Integral con MatLab
Curso 2010-2011

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Introducci´n
o

Una de los paquetes m´s utiles para el c´lculo con MatLab lo constituye Symbolic Math Toolbox,
a ´
a
que permite realizar c´lculo simb´lico avanzado, es decir, se puede prescindir de asignar un n´mero
a
o
u
a una variable y tratarla como una constante gen´rica.
e
Esta herramienta disponible enMatLab nos permitir realizar operaciones de integraci´n simb´lica
o
o
como calcular integrales definidas, impropias o calcular ´reas, por ejemplo.
a

2

C´lculo de primitivas
a

El c´lculo de primitivas con MatLab es muy sencillo. La integraci´n simb´lica se lleva a cabo
a
o
o
utilizando el comando int, empleando las sintaxis
int(S) o int(S, var)
donde:
• S puede ser unaexpresi´n simb´lica o el nombre de una expresi´n simb´lica.
o
o
o
o
o
´
o
a
a
• En el comando int(S), si la expresi´n contiene una unica variable simb´lica, el c´lculo se llevar´
a cabo con respecto a esa variable. Si la expresi´n contiene m´s de una variable, la integraci´n
o
a
o
se realizar´ respecto a la variable simb´lica por defecto (x).
a
o
o
a
• En el comando int(S, var), laintegraci´n se realizar´ con respecto a la variable var. Esta
sintaxis se utiliza para integrar expresiones con m´s de una variable simb´lica.
a
o
Del mismo modo que la derivaci´n, la integraci´n se puede extender a vectores y matrices.
o
o
Ejemplo.- Calcula (2cos(x) − 6x)dx.
Soluci´n:
o
>> syms x;
>> S = 2 ∗ cos(x) − 6 ∗ x;
>> int(S)
ans =
2 ∗ sin(x) − 3 ∗ x ∧ 2
MatLab no incluye laconstante de integraci´n que se debe tener en cuenta en el c´lculo de
o
a
primitivas.
Nota 2.1 Si x no est´ definida como una variable simb´lica, utilizaremos la siguiente sintaxis:
a
o
int( S , x )
En el caso del ejemplo anterior, tendr´amos lo siguiente:
ı

2

>> int( 2 ∗ cos(x) − 6 ∗ x )
ans =
2 ∗ sin(x) − 3 ∗ x ∧ 2
O bien:
>> int( 2 ∗ cos(x) − 6 ∗ x , x )
ans =
2 ∗ sin(x) − 3∗ x ∧ 2
Sin embargo, esta versi´n de Matlab nos da un aviso como el que sigue:
o
Warning. The method char/int will be removed in a future relase. Use sym/int instead.
Ejemplo.- Calcula

x+1
dx.
(x2 +1)(x2 +4)

Soluci´n:
o
>> syms x;
>> int((x + 1)/((x ∧ 2 + 1) ∗ (x ∧ 2 + 4)), x)
ans =
log(x−i)∗(1/6−i/6)+log(x+i)∗(i/6+1/6)+log(x−2∗i)∗(i/12−1/6)+log(x+2∗i)∗(i/12−1/6)
Ejercicios:
1.Calcula I =

e4x dx.

2. Calcula

x5 logxdx.

3. Calcula

cos(sen(x))dx.

Matlab permite introducir par´metros en las integrales y, en consecuencia, podremos trabajar
a
con ellos como si fueran constantes. Veamos un ejemplo.
Ejemplo .- Calcula

sen(ax)cos(bx)dx.

Soluci´n:
o
>> syms a b x;
>> int(sin(a ∗ x) ∗ cos(b ∗ x), x)
ans =
−(b ∗ sin(a ∗ x) ∗ sin(b ∗ x) + a ∗ cos(a ∗ x)∗ cos(b ∗ x))/(a ∧ 2 − b ∧ 2)

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Nota 2.2 En los dos ejemplos anteriores, podr´amos prescindir del segundo argumento en el coı
mando int y en ese caso, la integraci´ se realizar´a con respecto a la variable simb´lica por defecto
n
ı
o
x.

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Integrales definidas

Las integrales definidas tambi´n son conocidas como integrales propias. Se dice que una integral es
e
propia siel integrando est´ definido y es finito en un intervalo cerrado y acotado, cuyos extremos
a
son los l´
ımites de integraci´n.
o
Para calcular integrales definidas se utilizan estas variantes del comando int que vimos en la
primera secci´n:
o
int(S, a, b) o int(S, var, a, b)

donde:
• S puede ser una expresi´n simb´lica o el nombre de una expresi´n simb´lica.
o
o
o
o
• a y b son los l´ımites de integraci´n. Pueden ser escalares o variables simb´licas.
o
o
a
o
• El comando int(S, a, b) realizar´ la integral, si S solo depende de una variable simb´lica, con
respecto a dicha variable simb´lica o, en caso de depender de m´s de una, lo har´ con respecto
o
a
a
a la variable simb´lica por defecto (x).
o
• El comando int(S, var, a, b) realizar´ la integral con...