Integrales para Centros de Masa

=INTEGRALES PARA CÁLCULO DE CENTROS DE MASA=

El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente seabrevia como c.m..

Centro de Masa: Continuación
En una distribución continua de masa, la expresión para el centro de masa de una colección de partículas:

viene a ser una suma infinita y se expresa en la foma de una integral

Para el caso de una varilla uniforme, viene a ser

Este ejemplo de una barra uniforme es una vista previa de algunas características comunes sobre el proceso deencontrar el centro de masa de un sólido rígido. La distribución continua de masa, requiere los métodos del cálculo, con el cual, se expresa una integral sobre la masa del objeto. Tales integrales se transforma típicamente en integrales espaciales, relacionando la masa con la distancia, como en el caso de la varilla de densidad lineal M/L. Explorar la simetría del objeto nos puede proporcionar muchainformación. Por ejemplo: el centro de masa estará situado dentro de cualquier eje de simetría rotacional. En el caso anterior, el uso de la simetría nos indicaría que el centro de masa, está en el centro geométrico de la varilla, sin necesidad de calcularlo.

Distribución continua de materia
Para sistemas de masas continuos o distribuciones continuas de materia debemos recurrir al CálculoInfinitesimal e Integral, de modo que la expresión anterior se escribe en la forma:

Distribución de masa homogénea: Si la masa está distribuida homogéneamente, la densidad será constante por lo que se puede sacar fuera de la integral haciendo uso de la relación siguiente: 

siendo V el volumen total.
Para cuerpos bidimensionales (superficies) o mono dimensionales (líneas) se trabajará condensidades superficiales y longitudinales respectivamente.
Para el caso de cuerpos con densidad uniforme, el c.m. coincidirá con el centroide del cuerpo.
Distribución de masa no homogénea: Los centros de masas en cuerpos de densidad variable pueden calcularse si se conoce la función de densidad . En este caso se calcula el centro de masas de la siguiente forma.

Obviamente, para calcular laintegral hay que conocer la función de densidad.

INTEGRALES DOBLES


Como se utiliza el método de doble integración para calcular el área o el centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble deuna función F(x,y) de dos variables x e y. Las aplicaciones físicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particulares para F(x,y); esto es,
F(x,y)= 1, o
F(x,y)= y,
Cuando se trate de calcular el área,
o el momento del área respecto al eje x.
La notación
"A" F(x, y)dA (1)
Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A, de la función F(x,y). Imaginémonos la región Acubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x e y. Estas rectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares,
A=xy=yx (2)
Algunas de las cuales yacen por completo en la región A, otra son exteriores y otras, finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendientes las que están de A y podemos tomar o no en consideraciones aquellas que se encuentren parcialmentedentro. Concretamente, fijemos la atención en A interiores al contorno que numeramos en cierto orden
A1, A2…….An (3)
Sea (xk,yk) un punto cualquiera de Ak y formemos la suma

(4)
Si la función F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace más tupida, de forma que x y y tienden a cero (podemos poner y= 2x 0), el...