Integrales Prof Ruiz

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Prof. Jorge Ruiz Castillo

1

INTEGRACION

En este capítulo usaremos el problema de calcular el área para motivar la de…nición de la integral de…nida. Usaremos la integral de…nida para de…nir el área
de una región. Finalmente, el Teorema Fundamental del Cálculo nos proveerá
de un método simple para encontrar el valor de muchas integralesde…nidas.

1.1

Preparación para la integral de…nida

Consideremos una región R acotada por el grá…co de una función
f: [a; b] ! R
continua y no negativa; y el eje x.

De…nición.- Una partición de [a; b] es un conjunto …nito de puntos
fx0 ; x1 ; :::::::::; xn g ; n 2 N
tales que a = x0 < x1 < ::::::::::::: < xn = b. Escribimos
P = fx0 ; x1 ; :::::::::; xn g
.
Ejemplos.- P1 = 0; 12 ; 32 ; 2 y P2 = 0; 54 ;1; 53 ; 74 ; 2
son particiones del intervalo [0; 2].
Una partición P = fx0 ; x1 ; :::::::::; xn g del intervalo [a; b] divide a este en n subintervalos [x0 ; x1 ] ; [x1 ; x2 ] ; :::::::::::: [xn 1 ; xn ].
Notación.- 4xk = xk

xk

1:

longitud del k-ésimo subintervalo.

1

Sumas superiores e inferiores
Sea P = fx0 ; x1 ; :::::::::; xn g una partición del intervalo [a; b]. Sea mk el
menor valor quetoma f sobre [xk 1 ; xk ] (tal mk existe ya que f es continua
sobre ese intervalo). Sea Rk el rectángulo de altura mk y base 4xk , entonces
Rk es el mayor de los rectángulos que pueden inscribirse en R sobre el intervalo [xk 1 ; xk ]. Hacemos esta operación para cada subintervalo, de manera que
obtenemos n rectángulos R1 ; R2 ; :::::::::Rn todos inscritos en la región R.

De…nición.- Llamamossuma inferior de f asociada a la partición P a la suma
s (f; P) = m1 4 x1 + m2 4 x2 + ::::::::: + mn 4 xn
Observaciones.1. s (f; P)

area (R), dada cualquier partición P.del intervalo [a; b].

2. Dadas dos particiones P1 y P2 del intervalo [a; b]. Si P1
s (f; P1 ) s (f; P2 ).

P2 , entonces

3. A medida que la base de los rectángulos se van achicando, la suma de las
áreas de ellos se aproxima más alárea de R.
.
p
9
Ejemplo.- Sea f (x) = x; x 2 [0; 2]. Sea P = 0; 41 ; 49 ; 16
; 1; 25
16 ; 2 . Encontrar
un valor aproximado de s (f; P).
9
25
Solución.- x0 = 0; x1 = 14 ; x2 = 94 ; x3 = 16
; x4 = 1; x5 = 16
; x6 = 2.
y

1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

2

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

x

m1 = f (x0 ) = 0; m2 = f (x1 ) = 12 ; m3 = f (x2 ) = 23 ; m4 = f (x3 ) = 43 ; m5 =
f(x4 ) = 1; m6 = f (x5 ) = 54
7
17
7
9
7
4x1 = 14 ; 4x2 = 36
; 4x3 = 144
; 4x4 = 16
; 4x5 = 16
; 4x6 = 16
.
Por lo tanto
s (f; P) = m1 4 x1 + m2 4 x2 + ::::::::: + mn 4 xn 1:614.
Observación.- El valor real del àrea de la región R bajo la curva de ecuación
p
f (x) = x; x 2 [0; 2] ;
p
sobre el eje x, es 43 2 1:885.
En forma análoga a como se de…nió la suma inferior podemos de…nir la suma
superiorconsiderando rectángulos circunscritos a la región R.
Sea P = fx0 ; x1 ; :::::::::; xn g una partición del intervalo [a; b]. Sea Mk el mayor
valor que toma f sobre [xk 1 ; xk ]

De…nición.- Llamamos suma superior de f asociada a la partición P a la suma
S (f; P) = M1 4 x1 + M2 4 x2 + ::::::::: + Mn 4 xn
Observaciones.1. S (f; P)

area (R), dada cualquier partición P.del intervalo [a; b].

2. Dadasdos particiones P1 y P2 del intervalo [a; b]. Si P1
S (f; P1 ) S (f; P2 ).

P2 , entonces

3. A medida que la base de los rectángulos se van achicando, la suma de las
áreas de ellos se aproxima más al área de R.
4. s (f; P)
[a; b].

area (R)

S (f; P) dada cualquier partición P.del intervalo

5. si P1 y P2 son dos particiones del intervalo [a; b], entonces
s (f; P1 )
6. SiP1

P2 , entonces s (f; P1)

S (f; P2 ) :

s (f; P2 )
3

S (f; P2 )

S (f; P1 ).

.
p
9
Ejemplo.- Sea f (x) = x; x 2 [0; 2]. Sea P = 0; 41 ; 49 ; 16
; 1; 25
16 ; 2 . Encontrar
un valor aproximado de S (f; P).
9
25
; x4 = 1; x5 = 16
; x6 = 2.
Solución.- x0 = 0; x1 = 14 ; x2 = 94 ; x3 = 16
y

1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

x

M1 = f (x1 ) = 12 ; M2 = f (x2 ) = 32...