Integralesinmediatas

Páginas: 5 (1099 palabras) Publicado: 7 de abril de 2015
CÁLCULO DE PRIMITIVAS
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

p ≠ −1



p
∫ x dx =

x p +1
+C
p +1

1

∫ cos 2 x dx = tgx + C
−1

dx
= ln x + C
x

∫ e dx = e
x

x

2

x

dx = cot gx + C

dx

∫ cosh

+C

a > 0, ∫ a x dx =
a > 0, ∫

∫ sen

ax
+C
ln a



dx
= log a x + C
x ln a



2

= tgh x + C

x

dx

= arcsen x + C

1 − x2
− dx

= arccos x + C

1 − x2
dx

∫ sen xdx = − cos x + C

∫ 1+ x

∫ cos xdx =sen x + C



∫ senh xdx = cosh x + C



∫ cosh xdx = senh x + C

∫ 1− x

2

= arctg x + C

dx
x2 + 1
dx
x2 −1

dx

2

= arg senh x + C

= arg cosh x + C

= arg tgh x + C

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Si u = u( x ) , entonces

∫ u′( x ) f (u( x ))dx
u′

es inmediata siempre que lo sea
u′

∫ f ( x ) dx . Por ejemplo, ∫ u dx = ln| u|+C , o bien, ∫ 1 + u
ln x
(ln x ) 2
∫ x dx = 2 + C



ex
x
dx
=arcsen
e
+C
2x
1− e

2

dx = arctg u + C

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

1. - Cambio de variable:
Como todo cambio de variable se basa en la regla de la cadena.
Queremos realizar la integral

∫ f ( x )dx

donde

f no

tiene una

primitiva inmediata. Debemos buscar un cambio de variable que transforme
la integral en una integral inmediata o composición de funciones.
Entonces,

x = g (t )

para el cambio,

dx= g ′(t )dt

∫ f ( x )dx = ∫ f ( g (t )) g ′(t )dt
Más adelante estudiaremos algunos cambios específicos.
2. - Integración por partes
Se basa en la derivada de un producto.

u = u(x )
y
(uv )′ = u′v + uv ′ . Integrando
Sean

obtenemos

v = v (x )

en ambos lados de la igualdad

uv = ∫ u ′vdx + ∫ uv ′dx .

Por tanto,

∫ uv′dx = uv − ∫ u′vdx
Ejemplos:
u = x → du = dx

∫ xe dx = dv = e dx → v = ex

x

x

entonces


x
x
x
x
x
 = xe − ∫ e dx = xe − e + C = e ( x − 1) + C


dx 

u
=
ln
x

du
=
x  = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C = x (ln x − 1) + C
∫ ln xdx = 

 dv = dx → v = x 

3. - Integración de funciones trigonométricas:
Realización de cambios basados en las identidades trigonométricas:
1
(1 − cos( 2 x ))
2
1
cos 2 x = (1 + cos( 2 x ))
2

sen 2 x =

sen x + cos x = 1
2

2cos( 2 x ) = cos 2 x − sen 2 x

Resultan:

sen( 2 x ) = 2 sen x cos x
2
 x
sen   =
1 − cos x
 2
2

2
 x
cos  =
1 + cos x
 2
2

1 − cos x
 x
tg  =
 2
1 + cos x

sen( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y
cos( x + y ) = cos x cos y − sen x sen y
2 sen x cos y = sen( x + y ) + sen( x − y )
2 cos x cos y = cos( x + y ) + cos( x − y )
2 sen x sen y = − cos( x + y ) + cos( x − y )Ejemplos:
i)

∫ sen

2

xdx =

1
1
1
1
1

(1 − cos( 2 x ))dx = ∫ dx − ∫ cos( 2 x )dx =  x − sen( 2 x ) + C


2
2
2
2
2

ii) ∫ sen( 4 x ) cos( 2 x )dx =

1
11
1

(sen( 6 x ) + sen( 2 x ))dx =  ( − cos( 6 x )) + ( − cos( 2 x )) + C


2
26
2

1
4

iii) ∫ cos x sen 3 xdx = ∫ sen 3 x (sen x )′dx = sen 4 x + C
iv)

∫ sen

5

x cos 2 xdx = ∫ sen 4 x cos 2 x sen xdx = − ∫ (1 − cos 2 x ) 2 cos 2 x(cos x )′ dx =

∫ (1 − 2 cos

2

x + cos 4 x ) cos 2 x (cos x )′ dx =

1
2
1
cos 3 x − cos 5 x + cos 7 x + C
3
5
7

1
1
(1 − cos( 2 x ))(1 + cos( 2 x ))dx = ∫ (1 − cos 2 ( 2 x ))dx =

4
4
v)
1
1
1
1
1
1
1
= ∫ dx − ∫ 1 + cos( 4 x )dx = x − x − sen( 4 x ) = x − sen( 4 x ) + C
4
8
4
8
32
4
32

∫ sen

2

x cos 2 xdx =

dx
sen 2 x + cos 2 x
vi) ∫ 2
=
dx =
sen x cos 2 x ∫ sen 2 x cos 2 x

dx

∫ cos2

x

+∫

dx
= tg x − cot x + C
sen 2 x

5. - Integración de funciones hiperbólicas:
Son integrales del tipo

∫ R(senh x, cosh x )dx

y se resuelven de alguna de

las siguientes formas:
e x − e− x
e x + e− x
; cosh x =
1) Teniendo en cuenta la definición: senh x =
2
2

2) Teniendo en cuenta las relaciones:
cosh 2 x − senh 2 x = 1
senh( 2 x ) = 2 senh x cosh x
cosh( 2 x ) = senh 2 x + cosh 2 x

1
21
2

de donde se deduce: senh 2 x = (cosh( 2 x ) − 1); cosh 2 x = (cosh( 2 x ) + 1)

Ejemplo:

1
(cosh( 2 x ) + 1)dx ,
2∫
1
1
∫ cosh 2 xdx = 4 ∫ ( e x + e − x )2 dx = 4 ∫ (e 2 x + e −2 x + 2)dx

∫ cosh

2

xdx =

6. - Integración de funciones irracionales:
p1
pk


q1
qk
+
ax
+
b
ax
b





1) Integrales del tipo ∫ R x, 
 dx
 ,..., 
 cx + d  
  cx + d 



donde a, b, c, d ∈ R...
Leer documento completo

Regístrate para leer el documento completo.

Conviértase en miembro formal de Buenas Tareas

INSCRÍBETE - ES GRATIS