Integralindef

1

CAPITULO 5

Integral Indefinida
Licda. Elsie Hern´andez Sabor´ıo

Instituto Tecnol´
ogico de Costa Rica
Escuela de Matem´
atica

···
Revista digital Matem´
atica, educaci´
on e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

2
Cr´
editos

Primera edici´
on impresa:
Edici´
on LaTeX:
Edici´
on y composici´
on final:
Gr´
aficos:

´
Rosario Alvarez,
1988.
Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´
on yLisseth Angulo.
Walter Mora.
Walter Mora, Marieth Villalobos.

Comentarios y correcciones:

escribir a wmora2@yahoo.com.mx

Contenido
5.1
5.2

Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F´ormulas y m´etodos de integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Regla de la cadena para la antiderivaci´on . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
5.2.2 Integral de la funci´on exponencial de base e . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Integral que da como resultado la funci´on logaritmo natural . . . . . . . . . .
5.2.4 Integrales de las funciones trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.5 Integrales que involucran potencias y productos de funciones trigonom´etricas
5.2.6 Integrales que dan comoresultado funciones trigonom´etricas inversas . . . . .
5.2.7 T´ecnicas de Integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.8 Integraci´on por sustituci´on trigonom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

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4
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19
28
33
44

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5.1

Integral Indefinida

Dada una funci´on f, una primitiva arbitraria de ´esta se denomina generalmente integral indefinida de f y se
escribe en la forma

f (x) dx.

La primitiva de una funci´on tambi´en recibe el nombre de antiderivada.
Si λ es una funci´on tal que λ (x) = f (x) para x en un intervalo I, entonces la integral indefinida de f (x) est´a
dada por:
f (x) dx =λ(x) + C
C es cualquier n´
umero real y recibe el nombre de constante de integraci´on.
Teorema 1
Si F1 (x) y F2 (x) son dos funciones primitivas de la funci´on f sobre un intervalo [a, b], entonces
F1 (x) − F2 (x) = C
es decir, su diferencia es igual a una constante.
Prueba: Al final del cap´ıtulo.
Puede decirse a partir de este teorema que si se conoce cualquier funci´on primitiva de F de lafunci´on f ,
entonces cualquier otra primitiva de f tiene la forma F (x) + C, donde C es una constante. Luego

f (x) dx = F (x) + C si F (x) = f (x)
Nos dedicaremos ahora a estudiar los m´etodos que permiten determinar las funciones primitivas, (y por tanto
las integrales indefinidas), de ciertas clases de funciones elementales.
El proceso que permite determinar la funci´on primitiva de una funci´on frecibe el nombre de “integraci´on de
la funci´on f ”.
Las propiedades estudiadas para la integral definida tambi´en se cumplen para la integral indefinida.

5.2

F´
ormulas y m´
etodos de integraci´
on

5.2.1

Regla de la cadena para la antiderivaci´
on

Sea g una funci´on derivable en un intervalo I.
Sea f una funci´on definida en I y H una antiderivada de f en I. Entonces:

5

f [g(x)] · g (x) dx= H[g(x)] + C

Note que Dx [H(g(x)) + C] = H (g(x)) · g (x) + 0 = H (g(x)) · g (x), como H es una primitiva de f entonces
H (x) = f (x) por lo que:

H [g(x)] · g (x) = f [g(x)] · g (x)
Luego tenemos que:

1.

[g(x)]n · g (x) dx =

2.

xn dx =

[g(x)]n+1
+ C, n = −1. ¡Compru´ebelo!
n+1

xn+1
+ C, x = 1, ¡Compru´ebelo!
n+1

El caso en que n = −1 ser´a estudiado luego.

Ejemplo 1

x dx =

x1+1
x2
+C=
1+1
2

Ejemplo 2

4x5 dx = 4

x5 dx = a

x6
2x6
+C =
+C
6
3

Ejemplo 3

x

−3
7

dx =

x

−3
7 +1

−3
7

+1

4

+C =

x7
4
7

+C =

7 4
x7 + C
4

Ejemplo 4

(2x + 1)5 dx
Note que Dx (2x + 1) = 2, por lo que es necesario multiplicar por 2 y

(2x + 1)5 dx =

1
2

2(2x + 1)5 dx =

1
2

1
de la siguiente manera:
2

(2x + 1)6
(2x + 1)6
+C =
+C
6
12

6
Ejemplo 5

√

5x
dx
3x2 + 4

x
,
3x2 + 4...