INTERPOLACION G3


INDICE

1 INTRODUCCIÓN 2
2 OBJETIVOS 2
3 MARCO TEÓRICO 3
3.1 INTERPOLACIÓN 3
3.2 INTERPOLACIÓN CON TRES PUNTOS 3
3.2.1 EJERCICIO 4
3.3 ESQUEMA HORNER 5
3.3.1 EJEMPLO. 6
3.4 INTERPOLACIÓN POLINÓMICA 7
3.4.1 UN PROBLEMA DE INTERPOLACIÓN 8
3.5 PROBLEMAS DE INTERPOLACIÓN 9
3.5.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 9
3.6 REPRESENTACIÓN DE LAGRANGE 12
3.6.1 JOSEPH LOUIS DE LAGRANGE. 12
3.6.2 INTERPOLACIÓN DELAGRANGE. 13
3.6.3 EXPRESIÓN DE LOS POLINOMIOS DE LAGRANGE: 13
3.6.4 EJERCICIOS. 16
3.7 REPRESENTACIÓN DE NEWTON 20
3.7.1 ISAAC NEWTON. 20
3.7.2 POLINOMIOS DE NEWTON 20
3.7.3 EJERCICIOS. 21
3.8 INTERPOLACIÓN DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA 25
3.8.1 EJERCICIOS 25
4 CONCLUSIÓN 29
5 ÍNDICE DE ILUSTRACIÓN 29
6 ÍNDICE DE TABLA 29
7 REFERENCIAS 30


1 INTRODUCCIÓN


2 OBJETIVOS

Analizar las estrategiasprácticas para encontrar un polinomio de interpolación. 
 Aplicar los métodos numéricos de interpolación en la resolución de problemas.
Deducir y utilizar los métodos numéricos para encontrar un polinomio de interpolación: Método Directo, (Polinomio único de Interpolación) y Método de Newton.
Aplicar los métodos estudiados dentro de la carrera de Lic. Diseño Web y aplicación multimedia.
Utilizar losprocesos dentro de la herramienta de adobe flash cs6 para aplicarla en ejercicios como: rebote de un objeto, interpolación de forma, y movimiento de interpolación.

3 MARCO TEÓRICO

3.1 INTERPOLACIÓN

Procedimiento que permite calcular el valor aproximado de una función para un valor x de la variable, conociendo los valores que toma dicha función en los puntos x1, x2,..., xn.
La interpolación es laobtención de nuevos puntos partiendo de un conjunto de puntos. También consiste en encontrar una serie de números comprendidos entre ellos en el cual sabemos sus valores y que todos establezcan una progresión aritmética.
Se nos da una función de la cual sólo conocemos una serie de la misma:


Ilustración 1-subtema (1)-3.1

3.2 INTERPOLACIÓN CON TRES PUNTOS

Dados tres puntos (x0, y0), (x1, y1) y(x2, y2), con coordenadas x diferentes, o bien los tres puntos están en una recta o hay un polinomio de segundo grado (una parábola) que pasa por esos tres puntos. En cualquier caso, hay un polinomio de grado como mucho 2 que pasa por esos tres puntos.



Ilustración 2-subtema (3.2)
3.2.1 EJERCICIO






3.3 ESQUEMA HORNER

Es el método que busca evaluar de forma eficiente funciones polinómicas,generalmente se usa para convertir distintos sistemas numéricos posicionales.

Definición: Este método nos permite evaluar un polinomio de forma anidada y solo se requiere de n multiplicaciones y n sumas para evaluar un polinomio de grado n. En pocas palabras si se tiene el siguiente polinomio:
P(X) = a0Xn+ a1Xn-1+ …… + an-1X + an.
Si d0 = a0 y dk= ak+ dk-1x0, para todo k=1,2…..N, entonces dn=P(x0).
Además, si

Q(X) = d0Xn-1 + d1Xn-2 +……+ dn-2 X+ dn-1;
Entonces

P(X) = (X–X0) Q(x) + dn.
Nota: tomando como ejemplo un polinomio de grado 5
P(X) = a5 X5 + a4 X4 + a3 X3 + a2 X2 + a1 X + a0
Llamaremos a la forma anidada de un polinomio como la rescritura factorizada de este de la siguiente manera
-------------------------------------------------
P(X) = ((((a5X+ a4)X + a3)X + a2)X + a1)X + a0Propiedad 1: como ya vimos anteriormente, dedujimos que
P(X) = (X–X0) Q(X) + dn.
Y además
Q(X) = d0Xn-1 + d1Xn-2 +……+ dn-2 X + dn-1;

Podemos diferenciar con respecto a X, obteniendo
P’(X) = Q(X) + (X–X0) Q’(X)
Y con esto nos queda
P’(X0) = Q(X0)

Con lo recién hecho, en el momento que se use el método de Newton-Raphson para encontrar un cero absoluto de P, ambos P y P’ pueden ser evaluados deesta manera.
Propiedad 2: Sea el polinomio P dado por:

P(x) = a0Xn+ a1Xn-1+……+ an-1X+ an;
Aplicando el desarrollo de Taylor de un polinomio alrededor de un punto fijo buscamos los coeficientes ck de la ecuación
P(x) = a0Xn+ a1Xn-1+……+ an-1X+ an
= c0 (X –X0)n+ c1 (X–X0)n-1+......+ cn-1 (X–X0) + cN

Luego de esto vemos claramente que cn= P(X0) así este coeficiente se obtiene aplicando el método...