interpolacion newtiana

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Tutorial de Analisis Numerico
Interpolaci´n : F´rmula de Newton en
o
o
diferencias divididas

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Jes´s Garc´ Quesada
u
ıa
Departamento de Inform´tica y Sistemas
a

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Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
35017 Campus de Tafira, Espa˜a
n
Email : jgarcia@dis.ulpgc.es

2 de Octubre de 2000, v0.3
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Indice General
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1 FORMULA DE NEWTON EN
DIFERENCIAS DIVIDIDAS

3
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2 PROBLEMAS
Soluciones a los Problemas

10
13

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1. FORMULA DE NEWTON EN
DIFERENCIAS DIVIDIDAS
Sea pk (x) elpolinomio de interpolaci´n en los puntos x0 , x1 , . . . , xk (grado m´ximo = k).
o
a
Considerando pk (x), pk−1 (x) y su diferencia :

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qk (x) = pk (x) − pk−1 (x)
vemos que para los puntos x0 , x1 , . . . , xk−1 tenemos que :
pk−1 (xi ) = yi = pk (xi ),

0

i

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k−1

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y tambi´n que para el siguiente punto xk tenemosque pk (xk ) = yk , sin conocerse el
e
valor a priori que pueda tener pk−1 (xk ).
Por tanto, el polinomio qk (x) verifica :
qk (xi ) = pk (xi ) − pk−1 (xi ) = yi − yi = 0,

0

i

k−1

Ahora bien, qk (x) es un polinomio de grado m´ximo k ya que es la resta de dos
a
polinomios, pk (x) de grado k y pk−1 (x) de grado k − 1 y seg´n se acaba de ver se anula
u
en los k puntos anteriorestiene con lo cual se puede expresar de la siguiente forma :

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k−1

qk (x) = ak (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xk−1 ) = ak

(x − xi )

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i=0

Por otra parte, en el punto xk se cumple :

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qk (xk ) = pk (xk ) − pk−1 (xk ) = ak (xk − x0 )(xk − x1 ) · · · (xk − xk−1 )
y despejando entonces ak de ´sta ultima identidadtenemos :
e
´
ak =

yk − pk−1 (xk )
(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xk−1 )

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con lo cual podemos poner :
pk (x) = pk−1 (x) + qk (x)

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donde lo que parece complicado es calcular el ak , que ser´ el coeficiente de xk en el
ıa
polinomio pk (x) pero para esto se puede utilizar las diferencias divididas:

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Definici´n 1. Dada lafunci´n f de la cual se conoce su valor en los puntos x0 , x1 , . . . , xk ,
o
o
se llama diferencia dividida de f en los puntos x0 , x1 , . . . , xk al valor ak = f [x0 , x1 , · · · , xk ]
y se calcula recursivamente como sigue :
f [xi ] = f (xi ) = yi
f [xi+1 ] − f [xi ]
f [xi , xi+1 ] =
xi+1 − xi
f [xi+1 , xi+2 , · · · , xi+k ] − f [xi , xi+1 , · · · , xi+k−1 ]
f [xi , xi+1 , · · · ,xi+k ] =
xi+k − xi

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Lema 1.1.
f [xi , xi+1 , · · · , xi+k ] =

f [xi+1 , xi+2 , · · · , xi+k ] − f [xi , xi+1 , · · · , xi+k−1 ]
xi+k − xi

Demostraci´n. Sea pj (x) el polinomio de grado j que coincide con f (x) en los puntos
o
xi , xi+1 , . . . , xi+j y sea qk−1 (x) el polinomio de grado k − 1 que coincide con f (x) enlos puntos xi+1 , xi+2 , . . . , xi+k . Entonces :
p(x) =

x − xi
xi+k − x
qk−1 (x) +
pk−1 (x)
xi+k − xi
xi+k − xi

es un polinomio de grado

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k que verifica :
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p(xj ) = f (xj ),

para j = i, i + 1, . . . , i + k

ya que :
xi+k − xi
pk−1 (xi ) = yi = f (xi )
xi+k − xi
xi+k − xi
Para i + k : p(xi+k ) =
qk−1(xi+k ) = yi+k = f (xi+k )
xi+k − xi
y para cada j = i + 1, . . . , i + k − 1 :
xj − xi
xi+k − xj
p(xj ) =
qk−1 (xj ) +
pk−1 (xj ) =
xi+k − xi
xi+k − xi
xj − xi
xi+k − xj
xi+k − xi
+
yj =
yj = yj
xi+k − xi xi+k − xi
xi+k − xi
Para i : p(xi ) =

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Por tanto, por la unicidad del polinomio de interpolaci´n,...