interpolacion

Métodos basados en funciones de interpolación
Hay una extensa familia de métodos que se basan en aproximar la función a integrar por otro función de la cual se conoce la integral exacta. La funciónque sustituye la original se encuentra de forma que en un cierto número de puntos tenga el mismo valor que la original. Como los puntos extremos forman parte siempre de este conjunto de puntos, lanueva función se llama una interpolación de la función original. Cuando los puntos extremos no se utilizan para encontrar la función que sustituye a la original entonces se dice extrapolación.Típicamente estas funciones son polinomios.
Fórmulas de Newton-Cotes
La interpolación con polinomios evaluada en puntos igualmente separados en da las fórmulas de Newton-Cotes, de las que la regla delrectángulo, la del trapecio y la de Simpson son ejemplos. Si se escogen los nodos hasta será la fórmula de Newton-Cotes cerrada y si se escogen será la fórmula de Newton-Cotes abierta.
Regla del rectánguloEl método más simple de este tipo es hacer a la función interpoladora ser una función constante (un polinomio de orden cero) que pasa a través del punto . Este método se llama la regla delrectángulo:

Regla del punto medio

Ilustración de la regla del punto medio.
Si en el método anterior la función pasa a través del punto este método se llama la regla del punto medio:

Regla de SimpsonIlustración de la regla de Simpson.
La función interpoladora puede ser un polinomio de grado 2 que pasa a través de los puntos
, y . Este método se llama regla de Simpson:
.
Reglas compuestasPara cualquier regla interpoladora, se puede hacer una aproximación más precisa dividiendo el intervalo en algún número de subintervalos, hallando una aproximación para cada subintervalo, y finalmentesumando todos los resultados. Las reglas que surgen de hacer esto se llaman reglas compuestas, y se caracterizan por perder un orden de precisión global frente a las correspondientes simples, si...