Interpolacion

Interpolacion
Introduccion:
Dada una función f de la cual se conocen sus valores en un número finito de abscisas x0,x1,...,xm, se llama interpolación polinómica al proceso de hallar un polinomiopm(x) de grado menor o igual a m, cumpliendo .
A este polinomio se le llama Polinomio interpolador de grado m de la función f.
Interpolación polinómica de Lagrange
Dado que existe un único polinomiointerpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la formade Lagrange.
Dado un conjunto de k + 1 puntos

donde todos los xj se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la combinación lineal

de bases polinómicas de LagrangeEjemplo:
Se desea interpolar f(x) = tan(x) en los puntos
x0 = − 1.5 | f(x0) = − 14.1014 |
x1 = − 0.75 | f(x1) = − 0.931596 |
x2 = 0 | f(x2) = 0 |
x3 = 0.75 | f(x3) = 0.931596 |
x4 = 1.5| f(x4) = 14.1014 |
Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base polinómica.
Labase polinómica es:

Así, el polinomio interpolador lampara se obtiene simplemente como la combinación lineal entre los y los valores de las abscisas:

Interpolacion de Newton
l caso más sencillose presenta cuando queremos interpolar dos puntos, , obteniéndose la muy conocida función lineal que une dos puntos:

Si los puntos pertenecen a la gráfica de una función , la pendiente , que tieneuna forma de diferencias divididas, representa una aproximación muy global de la primera derivada de , con variando en el intervalo .
En el caso de tres puntos , en principio se busca el polinomiode interpolación de grado dos de la forma

Al evaluar el polinomio en cada uno de los tres puntos y despejando , y , se obtiene:

 
Una forma sencilla de hacer los cálculos anteriores es...