Interpolacion

INFORMÁTICA Y PROGRAMACIÓN
Problemas de Interpolación

1. La tabla siguiente recoge los valores de una función f(x) en un conjunto de puntos
soporte:

x
f(x)

0
0

0.5
0.4

1
0.5

2
0.4

4
0.25

Dicha función se interpola en el sentido de Lagrange mediante una función u(x)
polinómica a trozos de primer grado. Se pide:
a)

Determinar las funciones de basecorrespondientes a cada punto del soporte.

b)

Dibujar de forma aproximada dichas funciones de base. Se dibujará cada una de ellas
en un gráfico distinto.

c)

Obtener la función u(x)

d)

Sabiendo que

f ′′ ( x ) < 1.5

0 ≤ x < 0.5

f ′′ ( x ) < 0.5

0.5 ≤ x ≤ 1

f ′′ ( x ) < 0.5

1≤ x ≤ 2

f ′′ ( x ) < 0.05

2≤ x≤4

obtener una cota del error de interpolación lo más pequeñaposible.

2. La tabla siguiente recoge los valores de una función f(x) en un conjunto de puntos
soporte:
x
f(x)

0
0

0.5
1

1
1.5

2
1

3
1.25

4
2

Se desea encontrar una función polinomial a trozos que interpole la función dada en el
sentido de Lagrange de tal forma que la función interpoladora debe ser un polinomio de
segundo grado en los intervalos [0, 1] y [2, 4] y unpolinomio de primer grado en el
intervalo [1, 2]. Se pide:
a)

Obtener los polinomios interpoladores correspondientes a los intervalos [0, 1] y [1,
2] mediante el método de diferencias divididas de Newton.

b)

Obtener el polinomio interpolador correspondiente al intervalo [2, 4] mediante el
método de diferencias finitas progresivas de Newton-Gregory.

c)

Obtener una fórmula dederivación numérica de tipo interpolatorio que, usando
como soporte los puntos {1, 3, 4}, permita aproximar f ‘(3).

d)

Determinar el error de derivación numérica de la fórmula obtenida en el apartado c).

3. De una función f(x) se conocen los siguientes valores:
x
f(x)

1
0

2
5.545

3
29.663

x
f(x)

1.134
0.183

2
5.545

2.866
24.787

Se pide:
a)

Calcular elpolinomio interpolador de Lagrange de la función f(x) relativo al soporte
{1, 2, 3} utilizando los polinomios de base de Lagrange.

b)

Calcular el polinomio interpolador de Lagrange de la función f(x) relativo al soporte
{1.134, 2, 2.866} mediante el método Newton en diferencias divididas.

c)

Sabiendo que f’’’(x) < 17.6 en el intervalo [1, 3], razonar cual de los soportes, {1, 2,
3} o{1.134, 2, 2.866}, permite interpolar la función f(x) en el sentido de Lagrange
en el intervalo [1,3] con menor cota de error.

d)

Si x representa el tiempo y f(x) el espacio recorrido por un móvil puntual, obtén
una aproximación numérica de la aceleración de dicho móvil en el instante x =
1.75.

4. La tabla siguiente recoge los valores de una función f(x) en un conjunto de puntossoporte:

x
f(x)

0.5
2.5

1.0
0

1.5
-0.5

2.0
-0.5

3.0
0

5.0
1.6

Dicha función se interpola en el sentido de Lagrange mediante una función u(x) polinómica a
trozos de primer grado. Se pide:
e)

Determinar las funciones de base correspondientes a cada punto del soporte.

f)

Dibujar de forma aproximada dichas funciones de base. Se dibujará cada una de
ellas en ungráfico distinto.

g)

Obtener la función u(x)

h)

Sabiendo que f(1.25) = –0.35 y que f ′′′ ( x ) ≤

1
f ′′ ( x ) , ∀x ∈ [1, 1.5] , ¿cuál es
2

la mejora relativa de la cota del error de interpolación al emplear como soporte de
interpolación {1, 1.25, 1.5} en lugar de {1, 1.5} para aproximar f(x) en el intervalo
[1, 1.5]?

5. Se desea interpolar la función
f ( x) =

1
1 + x2en el sentido de Lagrange mediante una función polinómica a trozos de primer grado,
u(x), en el intervalo [-2, 2]. Para ello se considera el soporte {-2, -1, 0, 1, 2}. Se pide:
a)

Determinar las funciones de base correspondientes a cada punto del soporte.

b)

Dibujar de forma aproximada dichas funciones de base. Se dibujará cada una de ellas
en un gráfico distinto.

c)

Obtener...