Interpolacion

Punto Fijo

Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma

Si la ecuación es , entonces puede despejarse ó bien sumar en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada.
Ejemplos:
1) La ecuación se puede transformar en .
2) La ecuación se puede transformar en .
Dada la aproximación , la siguiente iteración se calcula con la fórmula:


Supongamosque la raíz verdadera es , es decir,

Restando las últimas ecuaciones obtenemos:


Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si es contínua en y diferenciable en entonces existe tal que .
En nuestro caso, existe en el intervalo determinado por y tal que:


De aquí tenemos que:





O bien,

Tomando valor absoluto en ambos lados,

Observe que eltérmino es precisamente el error absoluto en la ésima iteración, mientras que el término corresponde al error absoluto en la ésima iteración.
Por lo tanto, solamente si , entonces se disminuirá el error en la siguiente iteración. En caso contrario, el error irá en aumento.
En resumen, el método de iteración del punto fijo converge a la raíz si para en un intervalo que contiene a la raíz ydonde es contínua y diferenciable, pero diverge si en dicho intervalo.
Analicemos nuestros ejemplos anteriores:
En el ejemplo 1, y claramente se cumple la condición de que . Por lo tanto el método sí converge a la raíz.
En el ejemplo 2, y en este caso, . Por lo tanto, el método no converge a la raíz.
Para aclarar el uso de la fórmula veamos dos ejemplos:



Ejemplo 1
Usar elmétodo de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de , comenzando con y hasta que .
Solución
Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz.
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,

Con un error aproximado de
Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,

Y un error aproximado de .
Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muylentamente. En efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es:


Con un error aproximado igual al .
Ejemplo 2
Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de , comenzando con y hasta que .
Solución
Si despejamos la del término lineal, vemos que la ecuación equivale a

de donde,En este caso, tenemos que . Un vistazo a la gráfica,

nos convence que , para , lo que es suficiente para deducir que el método sí converge a la raíz buscada.
Aplicando la fórmula iterativa, tenemos:

Con un error aproximado del 100%.
Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos:

Con un error aproximado igual al 28.41%.
En este ejemplo, el método solo necesita de 5iteraciones para reducir el error menor al 1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Aprox. a la raíz Error aprox.
0
-0.2 100%
-0.1557461506 28.41%
-0.1663039075 6.34%
-0.163826372 1.51%
-0.164410064 0.35%
De donde vemos que la aproximación buscada es:




Regula Falsi Modificado


Un inconveniente que suele presentar este método es la aparición de extremosfijosque vuelven lenta la convergencia del proceso iterativo. Por ejemplo, en la ¡Error! Nose encuentra el origen de la referencia.
el extremo b se ha repetido en las 3primeras iteraciones, y por lo que se puede apreciar, continuará haciéndolo. Paraevitar este tipo de inconvenientes y acelerar la convergencia, siempre que un extremose haya repetido más de 2 veces, en la iteración siguiente seefectúa la interpolacióncon la mitad del valor funcional correspondiente a ese extremo ( en el caso de lafigura se tomaría f(b)/2).
















Ejemplo de Regula falsi modificada :
F(x) = 〖x*e〗^x-4


Iteración a F(a) b F(b) X^(n) F(X^(n))
1 0.0000 -4.000 2.0000 10.7781 0.5413 -3.0698
2 0.5413 -3.0698 2.0000 10.7781 0.8647 -1.9470
3 0.8647 -1.9470 2.0000 5.3891...