Introducción MEF

INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS
FINITOS

1.1 INTRODUCCIÓN
El método de los elementos finitos (MEF) ha adquirido una gran importancia en la solución
de problemas ingenieriles, físicos, etc., ya que permite resolver casos que hasta hace poco
tiempo eran prácticamente imposibles de resolver por métodos matemáticos tradicionales.
Esta circunstancia obligaba a realizar prototipos,ensayarlos e ir realizando mejoras de
forma iterativa, lo que traía consigo un elevado coste tanto económico como en tiempo de
desarrollo.
El MEF permite realizar un modelo matemático de cálculo del sistema real, más fácil y
económico de modificar que un prototipo. Sin embargo no deja de ser un método
aproximado de cálculo debido a las hipótesis básicas del método. Los prototipos, por lo
tanto,siguen siendo necesarios, pero en menor número, ya que el primero puede acercarse
bastante más al diseño óptimo.

Discretización con elementos finitos

El método de los elementos finitos como formulación matemática es relativamente nuevo;
aunque su estructura básica es conocida desde hace bastante tiempo, en los últimos años ha
sufrido un gran desarrollo debido a los avances informáticos.Han sido precisamente estos
avances informáticos los que han puesto a disposición de los usuarios gran cantidad de

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programas que permiten realizar cálculos con elementos finitos. Pero no hay que llevarse a
engaño, el manejo correcto de este tipo de programas exige un profundo conocimiento no
solo del material con el que se trabaja, sinotambién de los principios del MEF. Sólo en
este caso estaremos en condiciones de garantizar que los resultados obtenidos en los
análisis se ajustan a la realidad.

A. Carnicero

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1.2 BREVE HISTORIA DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS
FINITOS
Aunque el nombre del MEF se ha establecido recientemente, el concepto se ha usado desde
hace variossiglos. El empleo de métodos de discretizado espacial y temporal y la
aproximación numérica para encontrar soluciones a problemas ingenieriles o físicos es
conocido desde antiguo. El concepto de ‘ elementos finitos’ parte de esa idea.
Para encontrar vestigios de este tipo de cálculos podríamos remontarnos a la época de la
construcción las pirámides egipcias. Los egipcios empleaban métodos dediscretizado para
determinar el volumen de las pirámides. Arquímedes (287-212 a.C.) empleaba el mismo
método para calcular el volumen de todo tipo de sólidos o la superficie de áreas. En oriente
también aparecen métodos de aproximación para realizar cálculos. Así el matemático chino
Lui Hui (300 d.C.) empleaba un polígono regular de 3072 lados para calcular longitudes de
circunferencias con lo queconseguía una aproximación al número Pi de 3.1416.
El desarrollo de los elementos finitos tal y como se conocen hoy en día ha estado ligado al
cálculo estructural fundamentalmente en el campo aeroespacial. En los años 40 Courant1
propone la utilización de funciones polinómicas para la formulación de problemas elásticos
en subregiones triangulares, como un método especial del método variacionalde RayleighRitz para aproximar soluciones.
Fueron Turner, Clough, Martin y Topp2 quienes presentaron el MEF en la forma aceptada
hoy en día. En su trabajo introdujeron la aplicación de elementos finitos simples (barras y
placas triangulares con cargas en su plano) al análisis de estructuras aeronáuticas,
utilizando los conceptos de discretizado y funciones de forma.
El trabajo de revisión deOden3 presenta algunas de las contribuciones matemáticas
importantes al MEF. Los libros de Przemieniecki4 y de Zienkiewicz y Holister5 presentan

1

“Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations, Bulletin of American Mathematical
Society”, 49, 1-43. 1943.

2

“Stifness and deflection analysis of complex structures”. Journal of Aeronautical Sciences,...