INTRODUCCION CALCULO series finitas

INTRODUCCION
Una serie aritmética es la suma de una sucesión de términos. Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica r+r^2+r^3+r^4+... donde... indica que la serie continúa indefinidamente.
Las series son una parte esencial en el campo de las Matemáticas.
Aunque se define simplemente como la suma de términosfinitos o infinitos, tiene una gran importancia. Una serie finita termina finitamente, esto es, tiene definido tanto el primer como el último término.
Por otro lado, una serie infinita continúa sin interrupción.
Una manera común de estudiar una serie particular (siguiendo a Cauchy) es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros n términos

4.1 DEFINICIÓN DE SERIE
Una serie es unasucesión de un conjunto de términos formados según una ley determina.

Ejemplo 1 :
1, 4,  9,  16,  25
Es la suma indicada de los términos de una secesión. Así de las sucesiones anteriores obtenemos la serie:
                                                        1 + 4 + 9 + 16 + 25

Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita. Cuando el número de términos esilimitado, la sucesión o serie se llama sucesión infinita.
El término general ó término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos.

4.1.1  FINITA
Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero) y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es unaprogresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1.
 La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita. En general, una progresión geométrica se puede describir utilizando la siguiente notación: a es el primer término, la razón es r y, en una progresión finita, n es el número detérminos. Una progresión geométrica finita se escribe formalmente como
Teorema:
Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô .
Ejemplo 1 :
1.- {1, 3, 6, 8} se puede considerar como una serie finita, mientras qu e una serie de la forma {2,4, 6 8…} es un ejemplo de serie infinita.
2.- Sea f la función definida porf(x)= 2m; m" { 1,2,3,4}
f(1)= 2x1=2
f(2)= 2x2=4
f(3)= 2x3=6
f(4)= 2x4=8
(2,4,6,8)
f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4} es una serie finita donde m pertenece a cualquier numero del intervalo [1, 4].
4.1.2  INFINITA
En un lenguaje sencillo, una serie a1+ a2+ a3+ a4… es una rreglo ordenado de número reales, uno para cada entero positiva, es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos y cuyorango es un conjunto de números reales. Podemos indicar una sucesión mediante a1, a2, a3… mediante a(n) infinito=1, en algunos casos, extenderemos este concepto permitiendo que el dominio conste de todos los enteros mayores o iguales a un entero específico como en b1, b2, b3… y c8, c9, c10…. Que denotamos como {b(n)infinito=0} y {c(n)infinito=8, respectivamente.

Se puede especificar una sucesióndando suficientes términos iniciales para establecer un patrón como en:

1, 4, 7, 10, 13…
Mediante una fórmula explícita para el n-ésimo término, como en:
A(n)=3(n)-2,  n >1.

Ejemplo 1 :



4.2 SERIE NUMÉRICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE LA RAZÓN (CRITERIO DE D´ALEMBERT) Y PRUEBA DE LA RAÍZ (CRITERIO DE CAUCHY).

Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contienelos miembros (también llamados elementos o términos ), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta función.
Ejemplo 1:
Criterio de D'Alembert (Criterio de la razón)
Sea una...