Introfractal

Geometría Fractal
o el Diseño de la Naturaleza
Aniceto Murillo

XXIX Universidad de Otoño

Antes de una lectura detenida de este texto, si esa es la intención del lector, le invito a
contemplar alguna de las imágenes que más abajo aparecen… Es fácilmente apreciable,
además de su indudable belleza, su semejanza con estructuras naturales con las
habitualmente nos tropezamos.
Sin embargo, todasellas son producto de
“matemáticas experimentales” (que no aplicadas),
o dicho de otro modo, han sido confeccionadas sin
salir del laboratorio matemático cuyo material es,
esencialmente, un ordenador y algunos conceptos
matemáticos sabiamente utilizados. Es, podríamos
decir, una forma de hacer geometría que describe
ciertos fenómenos naturales de forma más
fidedigna de los que los tratados clásicosnos tienen
acostumbrados. En efecto, la geometría clásica, digamos euclídea, constituyó una
primera aproximación a la estructura de objetos físicos, naturales, y si estos son más o
menos regulares, la geometría diferencial ofrece de hecho una excelente aproximación a
tales objetos. No obstante, modelar las complicadas e irregulares estructuras que de
hecho aparecen en nuestro entorno resulta muchomás complicado con estas técnicas, si
acaso posible.
La geometría fractal ocupa en cierta medida
este vacío y puede usarse para diseñar fielmente
desde la intrincada silueta de una simple hoja
hasta la evolución del árbol al que pertenece.
Parafraseando a Michael Barnsley1, la geometría
fractal es un nuevo idioma que, una vez
aprendido, nos permitirá describir la caprichosa
forma de una masanubosa tan precisamente
como un arquitecto describe en sus planos la
casa a construir. Es, en palabras de Benoit
Mandelbrot2, la geometría de la naturaleza.
Por otra parte, es conocido como la geometría
fractal gana adeptos por su
aplicabilidad a cada vez más ramas de distintas ciencias. Sin embargo, no es menos
cierto que los principios matemáticos sobre los que se asienta pasan desapercibidos a lamayoría de sus usuarios. Quisiéramos aquí, por tanto, ofrecer de forma intuitiva y aún
rigurosa, el componente matemático que subyace en el concepto de fractal, y cuyo
conocimiento, además del placer que proporciona a la mente científica la respuesta a
misterios no resueltos, redundará sin duda en la apertura de nuevos horizontes donde
hacer uso de esta materia.

1

Michael Barnsley (Inglaterra,1948) es actualmente profesor en la Universidad Nacional de Australia.
Ha publicado, entre otros, importantes artículos de base en geometría fractal y es fundador de varias
compañías de software relacionadas con compresión fractal.
2

Benoit Mandelbrot (Polonia, 1924) es Profesor Sterling de Ciencias Matemáticas en la universidad de
Yale y Socio Emérito de IBM. Es el precursor de la geometríafractal, su representación gráfica y sus
aplicaciones en otras ciencias.

Comencemos por observar que, si pretendemos describir fenómenos naturales no
podemos contentarnos con su contemplación como simples imágenes, estructuras
estáticas. En efecto, cualquier modelo geométrico de una planta que no lleve
incorporado de alguna forma su crecimiento dinámico no será para el científico
totalmentesatisfactorio. Lo mismo puede aplicase al depósito de zinc en un proceso
electrolítico, la formación de cordilleras, la descripción de un proceso tumoral,…
En otras palabras, tratar de comprender el concepto de fractal ignorando el proceso
dinámico que lo crea no es adecuado. Además, sorprendentemente, y al contrario de lo
que a menudo la experiencia nos hace
inferir, en la geometría fractal, el
procesoresponsable de un intrincado y
complejo fenómeno puede ser sorprendentemente simple. También en este
caso, el recíproco es cierto: La
simplicidad de un proceso no debe
llevarnos a desdeñar sus posibles
consecuencias, que a menudo pueden
ser altamente complejas.
La geometría fractal tiene su origen en el concepto de proceso iterativo introducido
hace ya 300 años por Isaac Newton y Gottfried Leibniz y...