INVERSA 2X2

En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degeneradao regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamadamatriz inversa de A y representada como A−1, tal que
AA−1 = A−1A = In,
donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.
Una matriz no invertible sedice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es cero.
La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.
Propiedades dela matriz inversa
La inversa de una matriz, si existe, es única.
La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:

Si la matriz es invertible, también lo es sutranspuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:

Y, evidentemente:

Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además lainversa satisface la igualdad:

donde es el determinante de A y es la transpuesta de la matriz de adjuntos de A.
Demostración de la unicidad de la inversa
Supongamos que B y C son inversas de A
AB = BA= I
AC = CA = I
Multiplicando por C
(BA)C = IC = C
(BA)C = B(AC) = BI = B
De modo que B=C y se prueba que la inversa es única.
Demostración del criterio de inversibilidad de las matrices cuadradas
Seprobará la doble implicación.
Necesidad
Suponiendo que existe B tal que AB = BA = I. Entonces al aplicar la función determinante se obtiene

usando la propiedad det(I) = 1

Por lo tanto, det(A) esdistinto de cero.

Suficiencia
Suponiendo que el determinante de A es distinto de cero, sea aij es el elemento ij de la matriz A y sea Aij la matriz A sin la fila i y la columna j (comúnmente conocidacomo j-ésimo menor de A). Entonces

Sea , entonces

Esta afirmación es válida propiedades de los determinantes, pues la parte izquierda de la relación nos conduce a una matriz con la columnaj igual...