INVESTIGACION I

CAPITULO XI

ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

Las ecuaciones trigonométricas son igualdades entre funciones trigonométricas que se cumplen para ciertos valores de su variable angular, denominándose a estos valores : Raíces o soluciones de la ecuación.
Una ecuación condicional es una ecuación trigonométrica si y solo si, la variable aparece únicamente como arco de una o varias funcionestrigonométricas para casos como el de las ecuaciones siguientes diremos que:
Tg x + Ctg x = 2 Es una ecuación trigonométrica
Tg x - x = 1 No es una ecuación trigonométrica

ECUACIONES TRIGONOMETRICAS ELEMENTALES

Denominamos de esta manera a aquellas ecuaciones trigonométricas cuya forma es la siguiente:
F.T. K ( x+ 0 ) = Número real K  R
X : Variable
0 : Corrimiento defase
Por ejemplo :
Sen x = 1 / 2
Cos ( 2x) = 1
Tg ( 3x+20º ) =

SOLUCIONES BASICAS ( S. B) :

Dada la ecuación trigonométrica elemental en la que intervienen sólo una función trigonométrica básica , se denomina soluciones básicas a aquellas que están comprendidas en donde T : es el período de la función.

VALOR PRINCIPAL ( Vp ) :

Dada una ecuación trigonométrica elemental dondesólo intervienen una función trigonométrica básica, se denomina valor principal a aquella solución que pertenece al rango de la función inversa de la función dada.
Ejemplo :
1.- Hallar el valor principal de : Sen x = 1 / 2 Vp = 60º
2.- Hallar el valor principal de : Cos x = Vp = 45º
CONJUNTO SOLUCIÓN :

El conjunto solución de una ecuación trigonométrica elemental donde sólointerviene una función trigonométrica básica se puede determinar o expresar de dos maneras :
I . Dada la ecuación se determina primero sus soluciones básicas , finalmente el conjunto solución se obtiene sumando o restando un múltiplo entero del período ( o sea nT ) a cada una de estas soluciones :
Ejemplo :
Hallar el conjunto solución de Sen x = 1 / 2
Solución : T = 2 y las S.B =
Conjuntosolución S = n  Z

II. Dada la ecuación, se determina su valor principal ( Vp) y luego se reemplaza en la expresión que corresponde según el siguiente cuadro :

ECUACION
CONJ. SOLUCION
ECUACION
CONJ. SOLUCION
Sen x = a
n + ( -1 )n Vp
Ctg x = d
n + Vp
Cos x = b
2n Vp
Sec x = e
2n Vp
Tg x = c
n + Vp
Csc x = f
N + ( -1 )n Vp

Ejemplo:
Hallar elconjunto solución de Sen x = 1 / 2
Solución: Vp = Arc Sen (1 / 2 ) Vp =  / 6
Conjunto solución :
ECUACIONES TRIGONOMETRICAS NO ELEMENTALES

Son aquellas cuya resolución requiere de la aplicación de ciertos conceptos algebraicos o trigonométricos tales como la factorización , diferencia de cuadrados, resolución de ecuaciones de segundo grado, identidades trigonométricas básicas, identidadesde ángulos dobles, etc.

Para resolver estas ecuaciones no hay método general que se debe aplicar, lo que se hace es transformar estas ecuaciones ( aplicando conceptos algebraicos y trigonométricos ) en ecuaciones elementales y el conjunto solución será la unión de cada una de las ecuaciones elementales que se determine.
PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Hallar las tres primeras soluciones positivasde : Cos ( 2x+15º ) = 1 / 2 indicar la suma de estas
a) 360º b) 335º / 2 c) 715º / 2 d) 725º / 2 e) 735º / 2

2. Hallar la suma de las tres primeras soluciones positivas de:
Sen ( 5x-10º) = / 2
a) 115º b) 117º c) 119º d) 121º e) 123º

3. Resolver : 3 Tg 2 x + 5 = 7 Sec x, Siendo "K" entero
a) 2k  / 3 b) k  / 3 c) (k) / 2 / 3 d) 2k  / 6 e) 2k + / 44. Resolver : 2 Cos 2x + 3 = 4 Cos x , Siendo "K" entero
a) 4k (2) / 3 b) 2k  / 3 c) 2k 2 / 3 d) 4k  / 3 e) k 2 / 3

5. Resolver Sec x - Cos x = Sen x , Siendo "K" entero
a) k / 3 b) k / 4 c) k  / 6 d) k  / 4 e) k 2 / 3

6. Resolver : 3 ( 1- Cos x) = Sen 2 x , Siendo "K" entero.
a) 2k b) k c) 2k  / 3 d) k  / 3 e) k  / 6

7. Resolver...